سیستم‌های دینامیکی ریاضی

سیستمِ پویا یا سیستمِ دینامیک (dynamical system) در ریاضیات و حل مسائل صنعتی، اجتماعی و مدیریتی، به سامانه‌هایی گفته می‌شود که حالت آن‌ها با زمان تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، در آن یک تابع نحوه وابستگی نقاطی از یک فضای هندسی را به زمان توصیف می‌کند. «پویایی سیستم» (system dynamics) را نباید با «سیستم پویا» (dynamical system) اشتباه گرفت؛ این دو لزوماً به یک مفهوم اشاره نمی‌کنند. مثالی از یک سیستم پویا (یا سیستم دینامیک)، وابستگی زمانی نقاط مختلف یک آونگ متحرک یا آب جاری در یک لوله است. برای هر زمان معین، یک سیستم دینامیک، یک «حالت» دارد که می‌توان آن را با مجموعه‌ای از اعداد حقیقی(یک بردار) که به وسیله یک نقطه در یک «فضای حالت» مناسب (یک منیفلد هندسی) نشان داده می‌شود بیان کرد. برای هر تغییر کوچک در حالت سیستم دینامیکی، یک تغییر کوچک در اعداد متناظر داریم.

پیدایش سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی شاخه‌ای گسترده از دانش ریاضی و کاربردهای آن را دربرگرفته و به عنوان یکی از زمینه‌های فعال و زنده آن مطرح است. بیشتر از سه قرن پیش نیوتن بذر این علم را کاشته‌ است و این علم با تلاش دانشمندان بسیاری رشد یافت. در حدود یک قرن پیش هنری پوانکاره، این شاخه از علم را به درختی تناور و محکم مبدل کرد. ازآنجا که جریان‌های اصلی این علم به واسطه تحلیل یک مدل خاص در یک مسئله طبیعی یا ریاضی به راه افتاده‌اند و در هر زمینه‌ای تعاریف و صورت‌ بندی قضایا با موضوع مورد بحث، متناسب است طبیعی است که اختلاف نظرها و اختلاف سلیقه‌های بسیار در تعاریف و اهداف موردنظر شاخه‌ها ایجاد شوند به گونه‌ای که ممکن است حتی ذهن شخص نا آشنا را به تشتت دچارکنند. بنابراین، منشأ مفهوم سیستم دینامیکی به مکانیک نیوتنی برمی‌گردد و پیدایش مفاهیم مربوط به سامانه‌های دینامیکی از کارهای وسیع و اساسی پوانکاره درباره‌ی مکانیک اجرام آسمانی حدود یک قرن پیش شروع شد.

سیستم‌های دینامیکی

دسته بندی مختلفی از انواع سیستم‌های دینامیکی مطرح است. یه عنوان مثال، سیستم‌‌های دینامیکی گسسته و سسیستم‌های دینامیکی پیوسته، سیستم های متناهی البعد در مقابل نامتناهی البعد، سیستم های توپولوژیک درکنار مشتق پذیر، مختلط در مقابل حقیقی؛ دسته بندی دیگری نیز موجود است که بر اساس گسسته و پیوسته بودن سه مفهوم فضا، زمان و حالت معین می شود؛ این دسته بندی در جدول زیر خلاصه شده است.

فضا	زمان	حالت	دستگاه
پیوسته	پیوسته	پیوسته	معادلات با مشتقات جزئی
پیوسته	گسسته	پیوسته	نگاشت های روی فضاهای تابعی
گسسته	پیوسته	پیوسته	دستگاه معادلات دیفرانسیل عادی
گسسته	گسسته	پیوسته	شبکه نگاشت های به هم متصل
گسسته	گسسته	گسسته	اتوماتای سلولی

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سيستم‌هايی كه در آن‌ها يك رابطه خطي ميان سرعت و موقعيت برقرار مي‌­شود، سيستمه‌اي خطي به شمار مي­‌آيند. تكامل تدريجي سيستم‌هاي ديناميكي خطي نيز فرآيندي خطي است. اگر دو جواب براي سيستم خطي داشته باشيم مجموع آن‌ها نيز يك جواب براي سيستم است. هم چنين سيستم‌هاي خطي از اين قابليت برخوردار هستند كه آن‌ها را مي­‌توان با تجزيه مسئله به اجزا كوچكتر مورد بررسي قرار داده و سپس با جمع بندي نتايج، به تحليل كلي آن‌ها اقدام كرد و اين از جمله مواردي است كه تحليل سيستم‌هاي خطي را آسان مي­‌سازد (مانند آناليز فوريه، مباحث برهم نهي و …). در نهايت مي‌­توان گفت كه تجزيه و تحليل معادلات مربوط به اين سيستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

مفاهیم اولیه در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)

«آشــوب» در لغت به معناي هرج و مرج و بي­‌نظمي است. ريشه لغوي آشوب به كلمه رومي «كائــوس» (Kaous) برمي­‌گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اويــد» (Owid) مي­‌باشد. به نظر او كائوس، بي­‌نظمي و ماده بي­‌شكل اوليه بود كه داراي فضا و بعد نامحدودي بوده، به طوري كه فرض شده است كه قبل از اين كه جهان منظم شكل بگيرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستي، جهان منظم را از آن ايجاد نمود.

از لحاظ تاريخي پس از آن كه قوانين نيوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زيادي با تكيه بر قطعيت ذاتي اين قوانين آنهـ‌ـا را ماشين حساب خدا ناميدند و براي پيش‌گويي آينــده بر حسب مقادير فعلي كافي دانستند؛ به طور كلي تصور بر اين بود كه اگر وضعيت فعلي را با دقت بالايي بدانيم مي‌توانيم آينــده را هم با همين دقت پيش‌گويي كنيم. اين باور هم‌چنان پا بر جا بود تا اين كه در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــري پوانكاره» در بــررسي و تلاش بــراي حل مسئله سه جسمي متــوجه شد در بعضي موارد اگر دقــت در شــرايط اوليه بالا باشد، لزوماً در نتــايج نهــايي عدم قطعيت ناچيز نيست و با كاهش عدم قطعيت در شــرايط اوليه لزوماً عدم قطعيت كاهش نمي‌­يابد. اين مسئله نمودي از رفتــار آشــوبي بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقريبــاً اوليــن تحقيقات عدديي كه به معرفي فراگير آشوب انجاميد توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

تاكنون تعريف كلي پذيرفته شده براي آشوب ارائه نشده است و تعريف زير از جمله تعاريف پذيرفته شده مطرح مي‌­باشد:

« آشــوب، يك رفتــار طولاني مدت غيرپريــوديك در يك سيستم دترمينيســتيك است كه وابستـگي حســاس به شــرايط اوليــه را نشان مي‌­دهد»

• منظور از رفتار طولاني مدت غيرپريوديك در سيستم‌هاي ديناميكي آن است كه مسيرهايي وجود دارند كه وقتي زمان به بي­نهايت ميل مي‌­كند، مسير اين سيستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهاي پريوديك و يا مدارهاي شبه پريوديك منتهي نمي‌­شوند.
• دترمينيســتيك گوياي آن است كه سيستم داراي پارامترها يا ورودي­‌هاي تصادفي(random) نيست ولي رفتار بي نظم اين سيستم‌ها از غيرخطي بودن ناشي مي‌­شود. اين اصطلاح در مقابل stochastic به كار مي‌­رود كه منظور از آن نامنظم، كاتوره­اي، نامعين و غيرقابل پيش بيني بودن رفتار سيستم است.
• منظور از حساس بودن به شرايط اوليه در سيستم‌هاي ديناميكي اين است كه مسيرهاي مجاور با سرعت و به طور نمايي از هم جدا مي­‌شوند. در واقع اين خصوصيت، تفاوت اصلي سيستم‌هاي ديناميكي آشوبناك با سيستم‌هاي ديناميكي غير­آشوبناك است. در سيستم‌هاي ديناميكي غير­آشوبناك، اختلاف كوچك اوليه در دو مسير به عنوان خطاي اندازه‌­گيري بوده و به طور خطي با زمان افزايش پيدا مي‌­كند در حالي كه در سيستم‌هاي ديناميكي آشوبناك، اختلاف بين دو مسير با فاصله بسيار اندك همان طوري كه گفته شد، به طور نمايي افزايش مي‌­يابد.

محيط عمل پديده آشـوب، سيستم‌هاي ديناميكي است. يك سيستم ديناميكي شامل يك فضاي فــاز مجـرد يا حالت فازي است كه مختصاتش، حالت ديناميكي سيستم را با بكارگيري قوانيــن ديناميكي مشخص مي‌­كند. يك سيستم ديناميكي مي‌تواند منظم يا آشوبناك باشد. البته سيستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبي يا شبه ­تنــاوبي باشد. سيستم تناوبي تنها شامل يك فركانــس و هماهنگ‌هاي آن است و سيستم شبه تنــاوبي شامل چنــد فركانس و هماهنگ‌هاي آن مي‌­باشد. در سيستم آشــوبي هيچ تنــاوب غالبي وجود ندارد يعني اين سيستــم داراي دوره تنــاوب بي­نهــايت است

جــذب كننــده­‌ها (strange attractors)

يك جذب كننده مجموعه‌­اي از تمام مسيرهايي است كه به سمت يك نقطه ثابت، حلقه محدود يا … همگرا می‌شوند.  نوع ديگري از جذب كننده­‌ها وجود دارند كه آن‌ها را جذب كننده­‌هاي عجيب(Strange attractors) می‌نامند. جذب كننده‌­هاي عجيب به شدت نسبت به شرايط اوليه حساس هستند و به آن‌ها «عجيب» گفته مي­‌شود چون متشكل از مجموعه‌ی فراكتال هستند.

نگاشتــهاي تكــرار(Iterated maps)

از آنجا كه توصيف سيستم‌هاي ديناميكي گسسته در زمان با كمك نگاشت‌هاي تكرار صورت مي‌­پذيرد، در اين نوع سيستم‌ها رابطه ­اي به صورت \({x_{n + 1}} = F\left( {{x_n}} \right)\) مابين نقاطي كه سيستم انتخاب مي­‌كند وجود دارد كه اين نقاط با هم تشكيل يك مدار مي­‌دهند. بر اين اساس منظور از نگاشت، يك رابطه تابعي است از \(F:R \to R\) كه \(R\) مجموعه­‌اي است از نقاط حقيقي كه به وسيله آن مدار\(O\left( {{x_0}} \right)\) از نقاط x₀  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهي از نقاط تعريف مي‌­شود: \(O\left( {{x_0}} \right) = \left( {{x_0},{F^2}\left( {{x_0}} \right),{F^3}\left( {{x_0}} \right),…} \right)\) _.

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن \({x_n} = {F^n}\left( {{x_0}} \right)\) ، به صورت معادله \({x_{n + 1}} = F\left( {{x_n}} \right)\)  بيان مي­‌گردد. مي­‌توان نگاشت‌ها را براساس خطي بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) يا غيرخطي بودن (نگاشت لجستيك، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندي كرد.

نقــاط ثابت (Fixed points)

نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشت‌ها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي‌توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. از ديد هندسي نيز به اين طريق مي‌­توان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطه‌­اي است كه از تقاطع خط \(y = x\) و منحني \(y = F\left( x \right)\) به وجود مي‌­آيد»

دوشــاخه­ شدگي (Bifurcation)

در سيستم‌هاي ديناميكي، نقاط ثابت مي­‌توانند خلق يا نابود شوند  يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته مي­‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي (Bifurcation control parameter) صورت مي­‌گيرد.

• دوشاخه شدگي زيني (Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم مي­‌گردد و در نگاشت‌هايي كه از يكي از ضابطه­‌هاي زير تبعيت مي­‌كنند رخ مي‌­دهد:
  \(\frac{{dx}}{{dt}} = r + {x^2}\)  , \(\frac{{dx}}{{dt}} = r – {x^2}\)
• دوشاخه شدگي گذار بحراني (Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير مي­‌كند. شكل كلي سيستم‌هاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت مي­‌كنند، عبارت است از: \(\frac{{dx}}{{dt}} = rx – {x^2}\)
• دوشاخه شدگي چنگالي (Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول مي­‌باشد (براي مثال، دربسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد).

براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي مي­توان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي‌تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستم‌هاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:

فضای فاز

فضاي فاز با كمك مكان \(\left( {{x_1}} \right)\) و سرعت \(\left( {{x_2}} \right)\) رسم مي­‌گردد، لذا مي‌­توان گفت كه مجموعه جواب‌هايي به صورت \(\left( {{x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right)} \right)\) ، نشانگر يك نقطه در حال حركت در روي منحني (يعني مسير(Trajectory) سيستم) در اين فضا خواهند بود.

بايد دانست كه به ازاي شرايط اوليه متفاوت، فضاي فاز كاملاً با مسيرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌­اي را مي‌­توان به عنوان نقطه اوليه در نظر گرفت. هدف ما اين است كه عكس اين ساختار را طي كنيم يعني مسيرها را رسم كرده و بدين وسيله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماييم.

فضاي فاز مربوط به يك سيستم \(n\) ذره‌­اي فضايي است متشكل از \(6n\) پايه­‌هاي مختصاتي كه \(3n\) پايه آن مربوط به مكان و \(3n\) پايه ديگر مربوط به اندازه حركت است، پس هر نقطه در فضاي فاز داراي \(6n\) مختصه مي­‌باشد كه به تنهايي براي توصيف وضعيت سيستم كافي است. وجود ثوابت ابعاد فضاي فاز را كاهش مي­‌دهد. از حركت يك نقطه در فضاي فاز مسيرهاي فضاي فاز پديد مي­‌آيند. در حالت كلي، مجموعه مسيرهاي فضاي فاز حجمي \(6n\) بعدي را در فضاي فاز اشغال مي­‌كنند. البته بايد دانست كه به دليل يكتايي حركت ذره كلاسيكي، مسيرها در فضاي فاز يكديگر را قطع نمي­‌كنند. در نتيجه مي­‌توان گفت كه فضاي فاز مجموعه‌­اي از حالات ممكن يك سيستم ديناميكي است. يك حالت ويژه و مشخص در فضاي فاز سيستم را به طور كامل مشخص مي­‌كند و اين تمام آن چيزي است كه در مورد شناخت كاملي از آينده نزديك سيستم مورد نظر، مورد نياز مي‌­باشد. به عنوان مثال، فضاي فاز يك آونگ، صفحه‌­اي دو بعدي شامل موقعيت (زاويه) و سرعت است و مطابق با قوانين نيوتن تعيين اين دو متغير به طور مجزا، حركت بعدي آونگ را در زمان‌هاي بعدي مشخص مي­‌كند.

حال اگر يك سيستم غيرمستقل وجود داشته باشد كه ميــدان برداري آن (يك معادله ديفــرانسيل به عنوان يك ميــدان برداري معرفي مي­‌شود) به طور صريح به زمــان بستگي داشته باشد، در آن صورت طبق تعــريف فضاي فــاز بايد زمان را به عنوان يك مختصه فضاي فــاز در نظــر گرفت زيرا براي تعيين حركت در زمان بعدي، يك زمان ويژه بايد معلوم باشد. مسيــر در فضاي فاز مي‌تواند به صورت يك مدار و يا يك منحني باشد در حالي كه در سيستمي كه نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت يك ســري از نقاط مي‌­باشد.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی و حتی سیستم‌های خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.

در سيستم‌هاي ديناميكي غيرخطي رابطه ميان سرعت و موقعيت غيرخطي مي­‌باشد. در چنين سيستمي اگر دو جواب داشته باشيم مجموع آنها جواب ديگر سيستم نمي‌­باشد. سيستم ديناميكي غيرخطي را نمي توان به اجزا كوچكتر تقسيم نموده و هر يك را جداگانه حل كرد، بلكه بايد كل سيستم را با هم و يكجا مطالعه و بررسي كرد (براي مثال، وقتي كه قسمت‌هايي از يك سيستم تداخل مي‌­كنند يا با هم كار مي‌­كنند يك برهم‌كنش غيرخطي اتفاق مي‌افتد و اصل برهم نهي شكست مي‌­خورد). پس مي‌­توان گفت كه معادلات مربوط به تحول در اين سيستم‌ها حل تحليلي ندارند و يا حل تحليلي آنها بسيار مشكل است. براي تجزيه و تحليل چنين معادلاتي، ديناميك غيرخطي كه در سه بعد منجر به آشوب مي­‌گردد مورد استفاده قرار مي­‌گيرد؛ از اين‌رو براي تحليل سيستم‌هاي غيرخطي آشنايي با يك سري مفاهيم اوليه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در يك بعد)، سيكل‌هاي محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراكتال‌ها يعني اشكالي با ابعاد غير صحيح (در سه بعد) لازم است. اين مفاهيم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سيستم‌هاي ديناميكي غيرخطي را مي­‌توان به دو طريق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتي كه تحول در سيستم نسبت به زمان به صورت پيوسته باشد از معادله ديفرانسيل استفاده مي‌­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ ميرا يا معادله گرما؛ اما اگر سيستم به صورت گسسته با زمان تحول يابد، به عبارت ديگر در صورتي كه زمان به عنوان عامل جداگانه‌­اي در نظر گرفته شود سيستم در قالب نگاشت‌هاي تكرار(Iterated maps) مطالعه مي­‌گردد، مانند نگاشت لجستيك (Logistic map).

مطالعه سيستم‌هاي ديناميكي غيرخطي هم اكنون سرلوحه مطالعات در بسياري از علوم از جمله در: فيزيك، نجوم، رياضيات، بيولوژي، شيمي، اقتصاد، علوم كامپيوتر، هواشناسي و علوم پزشكي مي‌­باشد.

نمونه‌های سیستم‌های دینامیکی

۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ 7- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس

تعمیم چند بعدی سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستم‌های تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این‌ روی، سیستم‌های چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.

کاربرد سیستم‌های دینامیکی

بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستم‌های پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستم‌های پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستم‌های پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.