سیستمهای دینامیکی ریاضی
سیستمِ پویا یا سیستمِ دینامیک (dynamical system) در ریاضیات و حل مسائل صنعتی، اجتماعی و مدیریتی، به سامانه‌هایی گفته میشود که حالت آنها با زمان تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، در آن یک تابع نحوه وابستگی نقاطی از یک فضای هندسی را به زمان توصیف می‌کند. «پویایی سیستم» (system dynamics) را نباید با «سیستم پویا» (dynamical system) اشتباه گرفت؛ این دو لزوماً به یک مفهوم اشاره نمی‌کنند. مثالی از یک سیستم پویا (یا سیستم دینامیک)، وابستگی زمانی نقاط مختلف یک آونگ متحرک یا آب جاری در یک لوله است. برای هر زمان معین، یک سیستم دینامیک، یک «حالت» دارد که می‌توان آن را با مجموعه‌ای از اعداد حقیقی(یک بردار) که به وسیله یک نقطه در یک «فضای حالت» مناسب (یک منیفلد هندسی) نشان داده میشود بیان کرد. برای هر تغییر کوچک در حالت سیستم دینامیکی، یک تغییر کوچک در اعداد متناظر داریم.
پیدایش سیستمهای دینامیکی
سیستمهای دینامیکی شاخه‌ای گسترده از دانش ریاضی و کاربردهای آن را دربرگرفته و به عنوان یکی از زمینه‌های فعال و زنده آن مطرح است. بیشتر از سه قرن پیش نیوتن بذر این علم را کاشته است و این علم با تلاش دانشمندان بسیاری رشد یافت. در حدود یک قرن پیش هنری پوانکاره، این شاخه از علم را به درختی تناور و محکم مبدل کرد. ازآنجا که جریان‌های اصلی این علم به واسطه تحلیل یک مدل خاص در یک مسئله طبیعی یا ریاضی به راه افتاده‌اند و در هر زمینه‌ای تعاریف و صورت بندی قضایا با موضوع مورد بحث، متناسب است طبیعی است که اختلاف نظرها و اختلاف سلیقه‌های بسیار در تعاریف و اهداف موردنظر شاخه‌ها ایجاد شوند به گونه‌ای که ممکن است حتی ذهن شخص نا آشنا را به تشتت دچارکنند. بنابراین، منشأ مفهوم سیستم دینامیکی به مکانیک نیوتنی برمی‌گردد و پیدایش مفاهیم مربوط به سامانه‌های دینامیکی از کارهای وسیع و اساسی پوانکاره درباره‌ی مکانیک اجرام آسمانی حدود یک قرن پیش شروع شد.
سیستمهای دینامیکی
دسته بندی مختلفی از انواع سیستمهای دینامیکی مطرح است. یه عنوان مثال، سیستمهای دینامیکی گسسته و سسیستم‌های دینامیکی پیوسته، سیستم های متناهی البعد در مقابل نامتناهی البعد، سیستم های توپولوژیک درکنار مشتق پذیر، مختلط در مقابل حقیقی؛ دسته بندی دیگری نیز موجود است که بر اساس گسسته و پیوسته بودن سه مفهوم فضا، زمان و حالت معین می شود؛ این دسته بندی در جدول زیر خلاصه شده است.
| فضا | زمان | حالت | دستگاه |
| پیوسته | پیوسته | پیوسته | معادلات با مشتقات جزئی |
| پیوسته | گسسته | پیوسته | نگاشت های روی فضاهای تابعی |
| گسسته | پیوسته | پیوسته | دستگاه معادلات دیفرانسیل عادی |
| گسسته | گسسته | پیوسته | شبکه نگاشت های به هم متصل |
| گسسته | گسسته | گسسته | اتوماتای سلولی |
سیستمهای دینامیک خطی
سیستمهای خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آنها به حالت آنها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.
سيستم‌هايی كه در آنها يك رابطه خطي ميان سرعت و موقعيت برقرار مي‌شود، سيستمهاي خطي به شمار مي‌آيند. تكامل تدريجي سيستمهاي ديناميكي خطي نيز فرآيندي خطي است. اگر دو جواب براي سيستم خطي داشته باشيم مجموع آنها نيز يك جواب براي سيستم است. هم چنين سيستمهاي خطي از اين قابليت برخوردار هستند كه آنها را ميتوان با تجزيه مسئله به اجزا كوچكتر مورد بررسي قرار داده و سپس با جمع بندي نتايج، به تحليل كلي آنها اقدام كرد و اين از جمله مواردي است كه تحليل سيستمهاي خطي را آسان مي‌سازد (مانند آناليز فوريه، مباحث برهم نهي و …). در نهايت ميتوان گفت كه تجزيه و تحليل معادلات مربوط به اين سيستم‌ها شناخته شده است.
سیستمهای دینامیکی خطی، سیستمهای دینامیکی هستند که در آنها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستمهای دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستمهای دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستمهای خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستمهای دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.
سیستمهای دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستمهای غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستمهای خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستمهای غیرخطی پیچیده است.
مفاهیم اولیه در سیستمهای دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)
«آشــوب» در لغت به معناي هرج و مرج و بي‌نظمي است. ريشه لغوي آشوب به كلمه رومي «كائــوس» (Kaous) برمي‌گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اويــد» (Owid) مي‌باشد. به نظر او كائوس، بي‌نظمي و ماده بي‌شكل اوليه بود كه داراي فضا و بعد نامحدودي بوده، به طوري كه فرض شده است كه قبل از اين كه جهان منظم شكل بگيرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستي، جهان منظم را از آن ايجاد نمود.
از لحاظ تاريخي پس از آن كه قوانين نيوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زيادي با تكيه بر قطعيت ذاتي اين قوانين آنهـ‌ـا را ماشين حساب خدا ناميدند و براي پيش‌گويي آينــده بر حسب مقادير فعلي كافي دانستند؛ به طور كلي تصور بر اين بود كه اگر وضعيت فعلي را با دقت بالايي بدانيم مي‌توانيم آينــده را هم با همين دقت پيش‌گويي كنيم. اين باور همچنان پا بر جا بود تا اين كه در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــري پوانكاره» در بــررسي و تلاش بــراي حل مسئله سه جسمي متــوجه شد در بعضي موارد اگر دقــت در شــرايط اوليه بالا باشد، لزوماً در نتــايج نهــايي عدم قطعيت ناچيز نيست و با كاهش عدم قطعيت در شــرايط اوليه لزوماً عدم قطعيت كاهش نمي‌يابد. اين مسئله نمودي از رفتــار آشــوبي بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقريبــاً اوليــن تحقيقات عدديي كه به معرفي فراگير آشوب انجاميد توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.
تاكنون تعريف كلي پذيرفته شده براي آشوب ارائه نشده است و تعريف زير از جمله تعاريف پذيرفته شده مطرح مي‌باشد:
« آشــوب، يك رفتــار طولاني مدت غيرپريــوديك در يك سيستم دترمينيســتيك است كه وابستـگي حســاس به شــرايط اوليــه را نشان مي‌دهد»
- منظور از رفتار طولاني مدت غيرپريوديك در سيستمهاي ديناميكي آن است كه مسيرهايي وجود دارند كه وقتي زمان به بينهايت ميل مي‌كند، مسير اين سيستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهاي پريوديك و يا مدارهاي شبه پريوديك منتهي نمي‌شوند.
- دترمينيســتيك گوياي آن است كه سيستم داراي پارامترها يا ورودي‌هاي تصادفي(random) نيست ولي رفتار بي نظم اين سيستم‌ها از غيرخطي بودن ناشي مي‌شود. اين اصطلاح در مقابل stochastic به كار مي‌رود كه منظور از آن نامنظم، كاتورهاي، نامعين و غيرقابل پيش بيني بودن رفتار سيستم است.
- منظور از حساس بودن به شرايط اوليه در سيستمهاي ديناميكي اين است كه مسيرهاي مجاور با سرعت و به طور نمايي از هم جدا مي‌شوند. در واقع اين خصوصيت، تفاوت اصلي سيستمهاي ديناميكي آشوبناك با سيستمهاي ديناميكي غيرآشوبناك است. در سيستمهاي ديناميكي غيرآشوبناك، اختلاف كوچك اوليه در دو مسير به عنوان خطاي اندازه‌گيري بوده و به طور خطي با زمان افزايش پيدا مي‌كند در حالي كه در سيستمهاي ديناميكي آشوبناك، اختلاف بين دو مسير با فاصله بسيار اندك همان طوري كه گفته شد، به طور نمايي افزايش مي‌يابد.
محيط عمل پديده آشـوب، سيستمهاي ديناميكي است. يك سيستم ديناميكي شامل يك فضاي فــاز مجـرد يا حالت فازي است كه مختصاتش، حالت ديناميكي سيستم را با بكارگيري قوانيــن ديناميكي مشخص مي‌كند. يك سيستم ديناميكي مي‌تواند منظم يا آشوبناك باشد. البته سيستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبي يا شبه تنــاوبي باشد. سيستم تناوبي تنها شامل يك فركانــس و هماهنگ‌هاي آن است و سيستم شبه تنــاوبي شامل چنــد فركانس و هماهنگ‌هاي آن مي‌باشد. در سيستم آشــوبي هيچ تنــاوب غالبي وجود ندارد يعني اين سيستــم داراي دوره تنــاوب بينهــايت است
جــذب كننــده‌ها (strange attractors)
يك جذب كننده مجموعه‌اي از تمام مسيرهايي است كه به سمت يك نقطه ثابت، حلقه محدود يا … همگرا می‌شوند. نوع ديگري از جذب كننده‌ها وجود دارند كه آنها را جذب كننده‌هاي عجيب(Strange attractors) می‌نامند. جذب كننده‌هاي عجيب به شدت نسبت به شرايط اوليه حساس هستند و به آنها «عجيب» گفته مي‌شود چون متشكل از مجموعه‌ی فراكتال هستند.
نگاشتــهاي تكــرار(Iterated maps)
از آنجا كه توصيف سيستمهاي ديناميكي گسسته در زمان با كمك نگاشت‌هاي تكرار صورت مي‌پذيرد، در اين نوع سيستم‌ها رابطه اي به صورت \({x_{n + 1}} = F\left( {{x_n}} \right)\) مابين نقاطي كه سيستم انتخاب مي‌كند وجود دارد كه اين نقاط با هم تشكيل يك مدار مي‌دهند. بر اين اساس منظور از نگاشت، يك رابطه تابعي است از \(F:R \to R\) كه \(R\) مجموعه‌اي است از نقاط حقيقي كه به وسيله آن مدار\(O\left( {{x_0}} \right)\) از نقاط x0 (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهي از نقاط تعريف مي‌شود: \(O\left( {{x_0}} \right) = \left( {{x_0},{F^2}\left( {{x_0}} \right),{F^3}\left( {{x_0}} \right),…} \right)\) .
معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن \({x_n} = {F^n}\left( {{x_0}} \right)\) ، به صورت معادله \({x_{n + 1}} = F\left( {{x_n}} \right)\) بيان مي‌گردد. ميتوان نگاشت‌ها را براساس خطي بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) يا غيرخطي بودن (نگاشت لجستيك، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندي كرد.
نقــاط ثابت (Fixed points)
نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشت‌ها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن ميتوان نحوه تحول سيستم را درك كرد. از ديد هندسي نيز به اين طريق ميتوان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطه‌اي است كه از تقاطع خط \(y = x\) و منحني \(y = F\left( x \right)\) به وجود مي‌آيد»
دوشــاخه شدگي (Bifurcation)
در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت مي‌توانند خلق يا نابود شوند يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته مي‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي (Bifurcation control parameter) صورت مي‌گيرد.
- دوشاخه شدگي زيني (Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم مي‌گردد و در نگاشت‌هايي كه از يكي از ضابطه‌هاي زير تبعيت مي‌كنند رخ مي‌دهد:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = r + {x^2}\) , \(\frac{{dx}}{{dt}} = r – {x^2}\) - دوشاخه شدگي گذار بحراني (Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير مي‌كند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت مي‌كنند، عبارت است از: \(\frac{{dx}}{{dt}} = rx – {x^2}\)
- دوشاخه شدگي چنگالي (Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول مي‌باشد (براي مثال، دربسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد).
براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي ميتوان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي‌تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:
فضای فاز
فضاي فاز با كمك مكان \(\left( {{x_1}} \right)\) و سرعت \(\left( {{x_2}} \right)\) رسم مي‌گردد، لذا ميتوان گفت كه مجموعه جواب‌هايي به صورت \(\left( {{x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right)} \right)\) ، نشانگر يك نقطه در حال حركت در روي منحني (يعني مسير(Trajectory) سيستم) در اين فضا خواهند بود.
بايد دانست كه به ازاي شرايط اوليه متفاوت، فضاي فاز كاملاً با مسيرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌اي را ميتوان به عنوان نقطه اوليه در نظر گرفت. هدف ما اين است كه عكس اين ساختار را طي كنيم يعني مسيرها را رسم كرده و بدين وسيله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماييم.
فضاي فاز مربوط به يك سيستم \(n\) ذره‌اي فضايي است متشكل از \(6n\) پايه‌هاي مختصاتي كه \(3n\) پايه آن مربوط به مكان و \(3n\) پايه ديگر مربوط به اندازه حركت است، پس هر نقطه در فضاي فاز داراي \(6n\) مختصه مي‌باشد كه به تنهايي براي توصيف وضعيت سيستم كافي است. وجود ثوابت ابعاد فضاي فاز را كاهش مي‌دهد. از حركت يك نقطه در فضاي فاز مسيرهاي فضاي فاز پديد مي‌آيند. در حالت كلي، مجموعه مسيرهاي فضاي فاز حجمي \(6n\) بعدي را در فضاي فاز اشغال مي‌كنند. البته بايد دانست كه به دليل يكتايي حركت ذره كلاسيكي، مسيرها در فضاي فاز يكديگر را قطع نمي‌كنند. در نتيجه ميتوان گفت كه فضاي فاز مجموعه‌اي از حالات ممكن يك سيستم ديناميكي است. يك حالت ويژه و مشخص در فضاي فاز سيستم را به طور كامل مشخص مي‌كند و اين تمام آن چيزي است كه در مورد شناخت كاملي از آينده نزديك سيستم مورد نظر، مورد نياز مي‌باشد. به عنوان مثال، فضاي فاز يك آونگ، صفحه‌اي دو بعدي شامل موقعيت (زاويه) و سرعت است و مطابق با قوانين نيوتن تعيين اين دو متغير به طور مجزا، حركت بعدي آونگ را در زمان‌هاي بعدي مشخص مي‌كند.
حال اگر يك سيستم غيرمستقل وجود داشته باشد كه ميــدان برداري آن (يك معادله ديفــرانسيل به عنوان يك ميــدان برداري معرفي مي‌شود) به طور صريح به زمــان بستگي داشته باشد، در آن صورت طبق تعــريف فضاي فــاز بايد زمان را به عنوان يك مختصه فضاي فــاز در نظــر گرفت زيرا براي تعيين حركت در زمان بعدي، يك زمان ويژه بايد معلوم باشد. مسيــر در فضاي فاز مي‌تواند به صورت يك مدار و يا يك منحني باشد در حالي كه در سيستمي كه نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت يك ســري از نقاط مي‌باشد.
سیستمهای دینامیک غیر خطی و آشوب
سیستمهای دینامیکی غیرخطی و حتی سیستمهای خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده میشود.
در سيستمهاي ديناميكي غيرخطي رابطه ميان سرعت و موقعيت غيرخطي مي‌باشد. در چنين سيستمي اگر دو جواب داشته باشيم مجموع آنها جواب ديگر سيستم نمي‌باشد. سيستم ديناميكي غيرخطي را نمي توان به اجزا كوچكتر تقسيم نموده و هر يك را جداگانه حل كرد، بلكه بايد كل سيستم را با هم و يكجا مطالعه و بررسي كرد (براي مثال، وقتي كه قسمت‌هايي از يك سيستم تداخل مي‌كنند يا با هم كار مي‌كنند يك برهم‌كنش غيرخطي اتفاق مي‌افتد و اصل برهم نهي شكست مي‌خورد). پس ميتوان گفت كه معادلات مربوط به تحول در اين سيستم‌ها حل تحليلي ندارند و يا حل تحليلي آنها بسيار مشكل است. براي تجزيه و تحليل چنين معادلاتي، ديناميك غيرخطي كه در سه بعد منجر به آشوب مي‌گردد مورد استفاده قرار مي‌گيرد؛ از اين‌رو براي تحليل سيستمهاي غيرخطي آشنايي با يك سري مفاهيم اوليه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در يك بعد)، سيكل‌هاي محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراكتال‌ها يعني اشكالي با ابعاد غير صحيح (در سه بعد) لازم است. اين مفاهيم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.
سيستمهاي ديناميكي غيرخطي را ميتوان به دو طريق مورد مطالعه قرار داد:
در صورتي كه تحول در سيستم نسبت به زمان به صورت پيوسته باشد از معادله ديفرانسيل استفاده مي‌شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ ميرا يا معادله گرما؛ اما اگر سيستم به صورت گسسته با زمان تحول يابد، به عبارت ديگر در صورتي كه زمان به عنوان عامل جداگانه‌اي در نظر گرفته شود سيستم در قالب نگاشت‌هاي تكرار(Iterated maps) مطالعه مي‌گردد، مانند نگاشت لجستيك (Logistic map).
مطالعه سيستمهاي ديناميكي غيرخطي هم اكنون سرلوحه مطالعات در بسياري از علوم از جمله در: فيزيك، نجوم، رياضيات، بيولوژي، شيمي، اقتصاد، علوم كامپيوتر، هواشناسي و علوم پزشكي مي‌باشد.
نمونه‌های سیستمهای دینامیکی
۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ 7- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس
تعمیم چند بعدی سیستمهای دینامیکی
سیستمهای دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستمهای تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این روی، سیستمهای چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.
کاربرد سیستمهای دینامیکی
بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستمهای پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستمهای پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستمهای پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.
45 Comments
با سلام.
من کارشناسی ارشد ریاضی، گرایش هندسه را در سال ۹۴ به پایان رسانده ام.
یکی از دروس ما سیستم های دینامیکی بود که من بهش علاقه مند شدم.
فعلا که دکتری را نمی خوانم.
سوالم این هست که آیا امکان تحصیل در گرایش سیستم های دینامیکی هست؟
چه مقطع ارشد و چه دکتری؟
و حتما باید دوباره ارشد این رشته را بخوانم؟ یا اینکه دکتری در این گرایش میتوانم ادامه تحصیل بدهم؟ در دوره روزانه!
اگر امکانش هست راهنمایی بفرمائید.
منتظر هستم.
سلام بر شما همکار محترم
در رابطه با سوالی که مطرح کردین، سیستم دینامیکی به عنوان یک رشته منحصر به فردِ دوره فوق لیسانس و دکتری در ایران نیست.
اگر علاقه مند به این گرایش از ریاضی برای ادامه تحصیل هستین شما بایستی اساتیدی را جستجو کنید که گرایش دینامیکی کار کرده باشند که البته در همه دانشگاه ها نیستند.
بدین صورت، تز فوق لیسانس خود را میتوانید با استادی که دینامیکی کار کرده باشد کار کنید و در دوره دکتری نیز همینطور.
در زیر تعدادی از اساتید را خدمتتان معرفی میکنم.
۱- دانشگاه شهید مدنی دکتر حقیقت دوست سیستم هامیلتونی
۲- دانشگاه علم و صنعت دکتر نجفی خواه سیستم دینامیکی و تقارن
۳-دانشگاه اصفهان دکتر مهدی جعفری سیستم دینامیکی و شار ریچی
۴-دانشگاه شیراز دکتر امیر حسام زعیم هندسه ریمانی و شار ریچی
۵-دانشگاه تبریز خانم دکتر محمدی هندسه توپولوژی
۶- دانشگاه امیر کبیر پروفسور رضایی سیستم دینامیکی و شار ریچی
۷- دانشگاه خواجه نصیر، خانم دکتر ملک هندسه شار ریچی و سیستم دینامیکی
آرزوی موفقیت برای شما
سلام
خیلی ممنون از راهنمایی ها تون
پس الان که من هندسه را در دوره ارشد تموم کردم سال ۹۴ ، میتونم برای دکترا گرایش خود را به سیستم های دینامیکی تغییر دهم؟
خیلی خیلی ممنونم
سلام
خواهش میکنم آرزوی موفقیت براتون دارم
شما میتونید در دوره دکتری با استادی کار کنید که دینامیکی کار کرده باشند بگردین استادی که میخواین رو پیدا کنید و به تبع اون تلاش کنید دانشگاهی رو قبول شید که ایشان در اونجا از اعضای هیئت علمی و مشغول بکارند.
ممنونم
ان شاءالله به امید خدا
با سلام ووقت بخیر
شما سیستم های پویا رو تدریس خصوصی میکنید
سلام بر شما کار برگرامی
در بحث سیستم های دینامیکی، با همکارانی که تخصص این گرایش از ریاضی رو دارند جهت پوشش دادن به این بحث مهم صحبت کردم اما اعلام امادگی از سوی ایشان کمی زمانبر خواهد بود. اگر سوالی دارید مطرح بفرمائید تا در صورتیکه از مخاطبین یا مدرسین امکان پاسخگویی داشته باشند پاسخ دهند.
موفق باشین
سلام من دانشجوی ارشد هستم یه جزوه ریاضی دارم که میخوام برام تدریس کنید استادمون یه کم سطح بالا بیان میکنه منم متوجه نمیشم امکانش هست؟
سلام من ارشد گرایش سیستم های دینامیکی هستم و موضوع پایان نامه ابرسیستم های دینامیکی هست.
اگر میشه یه منبع خوب به من معرفی کنید.
با سلام
من دانشجوی ارشد دانشگاه یزد، گرایش آنالیز ریاضی محض هستم.
لطفا حل مسائل مبانی سیستم های دینامیکی را دارید برایم بفرستید.
ممنون میشم.
سلام و احترام
در زمینه سیستم های دینامیکی و پاسخگویی به سوالات شما با یکی از همکاران محترم متخصص این گرایش در حال رایزنی هستیم انشالله اگر نتیجه مثبت حاشل شد لینک ارتباطی ایشان دا در سایت خواهم گذاشت.
آرزوی موفقیت
سلام
از اینکه مطالب بسیار مفیدی قرار دادید تشکر میکنم.
من دکتری برق- کنترل دارم.
اگر دانشجویان رشته برق بویژه کنترل کسی در زمینه سیستم های دینامیکی آشوبناک راهنمایی خواست من در خدمتم.
سلام
درود بر شما
خواهش میکنم سپاس از توجه شما.
بله در زمینه سیستم های دینامیکی سوالهای متعددی پرسیده میشود، از دانشجویان این گرایش در ریاضی و نیز دانشجویان برق. اگر مشکلی نیست در مورد نحوه ارتباط دانشجویان عزیز با شما ایمیلی ارسال فرمائید.
پیشاپیش از همکاری شما در این زمینه کمال قدردانی را دارم.
راه ارتباطی با خودتون لطف می کنید بدید؟؟؟
سلام بر شما کاربر گرامی
آدرس ایمیل و شماره تماس در صفحه تماس با ما ذکر گردیده است.
https://fedika.com/contact-us
سلام، وقتتون بخیر
ممنون بابت توضیحات ارائه شده در زمینه سیستم های دینامیکی
امکانش هست که منابع استفاده شده جهت ارائه سیستم های دینامیکی رو بفرمایید؟
با تشکر
سلام متشکرم
ممنون از حُسن نظر شما
لطفا کامنت های مربوط به سیستم های دینامیکی را مطالعه بفرمایید جواب سوال شما در پاسخ به دیگر همراهان عرض کردم.
آرزوی موفقیت برای شما
سلام وقت بخیر من ارشد ریاضی گرایش هندسه سیستم های دینامیکی دانشگاه فردوسی میخونم
میشه لطفا کسی رو بهم معرفی کنید که بتونه در درس سیستم های دینامیکی کمکم کنه ممنون میشم
سلام
درس سیستم های دینامیکی به علت اینکه مثل سایر دروس و رشته های علوم پایه در دانشگاه های ایران جاافتاده نیست بنابراین محوریت دانشجو در این درس حائز اهمیت است.
اساتید و افراد متعددِ پرتلاش و موفقی در زمینه این گرایش مشغول به فعالیت هستند.
“فقط” جهت راهنمایی گرفتن نه حل سوال، ایمیل استاد محترم، آقای دکتر طالبی را به آدرس ایمیل شما ارسال میکنم.
موفق باشید
سلام خانم فرزامی؛
من یه دانش آموز رشته تجربی هستم که به خاطر علاقه ام به ریاضیات و دنیای رایانه به صورت خودآموز ریاضی رو یاد میگیرم….
تا حالا هم تونستم در زمینه ریاضیات رمزنگاری و نظریه اعداد و گراف و اینا مطالعاتی داشته باشم به صورت آزاد…..
با خوندن این مقاله متوجه شدم که این شاخه میتونه توی بازیسازی کاربرد بسیار خوبی داشته باشه و توی تحلیل حرکات و پیش بینی حرکات پلیر کمک شایانی بکنه….
قصد دارم یک توتوریال منتشر کنم که این شاخه ریاضیات رو به زبان روان تبیین کنم و با کاربرد این مطـلب توی بازیسازی پیوندهایی ایجاد کنم. اگرچه مطمئنم گیم انجین هایی مثل آنریل و یونیتی ازکاربردهای این شاخه از ریاضیات توی کرنل نرم افزارشون استفاده کردن ولی دونستن این مطالب برای خود شخص بازیساز هم خالی از لطف نیست…
با توجـه به اینکه بنده خودآموز مشغول مطالعه هستم امکانش هست یک رفرنس مـناسـب و نسبتاً روان معرفی بفرمایین؟
بـا انگلیسی بودنش هم مشکلی ندارم چون به زبان انگلیسی هم تقریباً مسلط هستم و راحت میتونم متون رو بخونم و بفهمم….
سلام بر شما کاربر گرامی
باعث خوشحالی هست که مطالعه صرف علاقه و جهت دار باشه. آرزوی موفقیت دارم برای شما. قطعا این شاخه از ریاضیات علاوه بر موارد ذکر شده در مقاله، در آینده ای نه چندان دور طیف گسترده تری از کاربرد را به خود خواهد گرفت.
کتاب Sttphen Lynch رو مطالعه بفرمایید.
سلام خانم فرزامی عزیز
من الهام پيلوار دانشجوي دكتراي رياضي كاربردي هستم و در دانشگاه مونتريال كانادا مشغول به تحصيل ميباشم، در ايران دانشجوي ارشد در دانشگاه خوارزمي (شاگرد دكتر بابليان) بودم و متاسفانه هيچ زمينه اي در مورد سیستم های دینامیکی نداشتم، مدت ٢ ماه هست به كانادا اومدم و مشغول تحصيل شدم، و متاسفانه به مشكل برخوردم در درس سيستم هاي ديناميكي.
ميخواستم از شما همكار عزيز خواهش كنم منبعي فارسي بمن معرفي كنيد تا من بتونم خودم رو به سطح كلاس برسونم
ممنون ميشم از لطف و كمكتون
ارادتمند شما
الهام پيلوار
سلام بر شما همکار گرامی
با احترام و با توجه به شرایطی که خدمت شما عرض کردم،خارج از سایت، حتما در اولین فرصت برای شما ایمیل خواهم کرد و نیز برای استفاده تمامی کاربران در سایت قرار خواهم داد. البته به صورت زبان فارسی تقاضا زیاد و عرضه خیلی کم است نهایتا به صورت داکیومنت …
با آرزوی موفقیت برای شما
سلام همچنان منتظر ايميل شما هستم و بشدت احتياج به كتاب ذكر شده دارم حداقل يك منبع فارسي ميتونه مشكلاتم را حل كند
elh….lvar 70@gmail.com
سلام بر شما
از اینکه طولانی شد مدت زمان پاسخگویی به شما عوامل متعددی دخیل بود و عذر میخوام. همونطور که خدمتتون عرض کردم منبع فارسی مناسبی در این زمینه که فایل اون هم موجود باشه وجود نداره اما، جزوه دکتر حقیقت دوست از دانشگاه شهید مدنی رو قبلا داشتم و دیدم که متاسفانه با پیگیری هایی که در این مدت کردم هنوز موفق به دریافتش نشدم و همچنان پیگیرم.
لینک کلاس درس دانشگاه صنعتی شریف در رابطه با سیستم دینامیکی رو در پاسخ احمد گذاشتم.
بهترین کتاب لاتین در این زمینه هم
Dynamical systems نوشته Lynch هست از کارشناسی تا دکتری بسیار کمک کننده هست.
سلام خوبین طاعات و عباداتتون قبول حق …ممنونم از مطالبی که گذاشتین من دانشجوی ریاضیات هستم استاد درس سیستم دینامیکی چند تا سوال داده نمیتونم حل کنم امکانش هست بهم کمک کنید یا بهم بگید از چه کسی کمک بگیرم
سلام بر شما
متشکرم همچنین برای شما
سوال های خود را می توانید از آقای دکتر طالبی فقط راهنمایی بگیرید نه حل.
به شماره من در واتساپ پیام دهید تا آدرس ایمیل ایشان را خدمتتان ارسال کنم.
با سلام و احترام
در خصوص حل یک سیستم دینامیکی به روش سری ها، شما کتاب آموزشی یا مقاله ای سراغ دارید؟
با تشکر
درود بر شما کاربر گرامی
با ایمیلی که برایتان ارسال میکنم در ارتباط باشید و سوال خود را (فقط در زمینه راهنمایی و معرفی کتاب نه حل سوال ) از جناب آقای دکتر طالبی دکتری سیستم دینامیکی بپرسید.
.
سلام خدا قوت ممنون از مطالب خوبتان
غرض از مزاحمت اینجانب برای کاربرد سیستم دینامیک در بازار مالی (بورس) و همچنین چرخه های زمانی مطالبی را میخواستم آیا منابع ای هست که ساده و روان باشد که با استفاده از آنها بصورت کاربردی استفاده کنم ضمنا تحصیلاتم دیپلم است ممنون میشوم از راهنمایی شما
باسپاس و بدرود
سلام بر شما
متشکرم
در مورد سیستم دینامیکی، دکتر حقیقت دوست از هیئت علمی دانشگاه شهید مدنی آذربایجان یه جزوه دارند که متاسفانه من جزوشونو در حال حاضر نمیدونم کجا گذاشتم(در اولین فرصت در سایت قرار میدم).
در مورد سیستم های دینامیکی، لینک زیر که مربوط به کلاس درس دانشگاه شریف می باشد هم خوب است.
http://bit.ly/2CPyzCN
پایان نامه کارشناسی ارشد رمزنگاری تصویر توسط فراکتالها هست هر منبعی که بتونم در مورد آشوب و فراکتال را متوجه بشم از لحاظ ریاضی خیلی بهم کمک میشه چون هیچی از اشوب نمیدونم
سلام
پایان نامه ام در مورد فراکتال و آشوب و مطالبی که در این صفحه گفتید هست. ایا منبعی در این مورد می توانید معرفی کنید مطالعه کنم با تشکر
سلام
موضوع دقیق پایان نامه را در جهت معرفی منابع مرتبط برایم ارسال کنید.
سلام، وقتتون بخیر
میشه لطفا دو سه تا کتاب درباره سیستم دینامیکی رشته ریاضی در دوره لیسانس معرفی کنید؟
سلام
من دانشجوی دکتری برق هستم.با توجه به موضوع تحقیقاتم که مرتبط با آشوب هست از مطلبتون در این مورد تشکر میکنم
سلام بر شما مخاطب گرامی
خوشحالم از استقبال شما در مورد مطالب سایت.
پیشنهادات و انتقادات شما و همه مخاطبان محترمِ سایت را پذیرا هستم و از آن استفاده خواهم برد.
امید است که در آینده ای نزدیک بهتر از گذشته انجام وظیفه کنم و کاستی ها را پوشش دهم.
سلام و وقت بخیر
من کارشناس ارشد عمران گرایش سازه هستم که علاقه زیادی نیز به علم ریاضی خصوصا جبر و هندسه دارم .میخواستم از سایت پر محتوای فدیکا و همچنین شما استاد محترم که زحمت میکشین تشکر کنم.اگر در زمینه تاریخ جبر یا هندسه کتاب یا مطلبی پیشنهاد بدین ممنون میشم. باتشکر
سلام متشکرم
برای شما آرزوی موفقیت دارم.
علاقه مندی به ریاضی با وجود رشته تحصیلی متفاوت یا مشغله کاری نامرتبط با ریاضی (و بعضاً مرتبط) مسئله ای خودجوش است.
از شما هم بخاطر حُسن نظرتون بسیار سپاسگزارم.
در زمینه جبر:
تاریخ جبر:
1- تاریخ جبر از خوارزمی تا امی نوتر، نویسنده: بارتل لیندرت وان در واردن(Bartel Leendert van der Waerden) ترجمه: محمد قاسم وحیدی اصل و علیرضا جمالی
کتاب های مقدماتی:
1- نخستین درس در جبر مجرد، نویسنده: جان فرالی ترجمه: علی اکبر عالم زاده
2- مباحثی در جبر(Topics in Algebra)، نویسنده: ایزرائل ایتژاک ناتان هرشتاین(Israel Yitzchak Nathan Herstein) ترجمه: علی اکبر عالم زاده
3- جبر(Algebra)، نویسنده: هانگرفورد(Thomas W. Hungerford) ترجمه: علی اکبر عالم زاده
کتاب های مقدماتی:
1- کتاب جبر پیشرفته-کاربردی(Modern-Algebra-With-Applications)، نویسنده: Gilbert
2- جبر مدرن پیشرفته(Advanced Modern Algebra) نویسنده: Joseph Rotman
3- جزوه ی پیشرفته دکتر اکبری، دانشگاه شریف.
در زمینه هندسه
1- هندسه مقدماتی(Elementary Geometry)، نویسنده: Daniel C. Alexander,Geralyn M. Koeberlein
سلام ببخشید من از کجا میتونم جزوه درس حساب تغییرات و سیستمهای دینامیکی برای ارشد ریاضی گرایش معادلات دیفرانسیل را پیدا کنم؟ خیلی بهش نیاز دارم.
سپاس از سایت خوبتون.
سلام به شما.
متشکرم از حُسن نظرتون.
برای درس حساب تغییرات، کتاب شیدفر یا کتاب ارتورز با ترجمه “گل بابایی” خوب هستش.
در مورد سیستم دینامیکی، دکتر حقیقت دوست از هیئت علمی دانشگاه شهید مدنی آذربایجان یه جزوه دارند که متاسفانه من جزوشونو در حال حاضر نمیدونم کجا گذاشتم. در اولین فرصت در سایت قرار میدم.
در مورد سیستم های دینامیکی، لینک زیر که مربوط به کلاس درس دانشگاه شریف می باشد هم خوب است.
http://bit.ly/2CPyzCN
سلام خدمتتون
رشته ی کاربردی گرایش سیستم های دینامیکی صنعتی اصفهان قبول شدم
میخواستم ببینم درس های این گرایش تا چه حد قابل فهم هست؟
لطفا راهنمایی ام کنید
نمیدونم برم ثبت نام کنم یا خیر؟
با سلام
ابتدا بهتون تبریک میگم.
یکی از بهترین گرایش های ریاضی در مقطع ارشد و برای ادامه در مقطع دکتری رو قبول شدید که بسیار پرکاربرد در کل دنیاست.
به نظر من اگر رشته تحصیلی دوره لیسانس شما ریاضی بوده و به این رشته هم علاقه مندین حتما ثبت نام کنید.
قابل فهم بودن دروس مربوط به هر گرایشی در مقاطع ارشد و … به میزان اندوخته های قبلی و نیز سطح یادگیری افراد داره.
برای اطلاعات بیشتر لطفا تماس گرفته و یا سوال خودتون رو کامنت کنید.
موفق و موید باشید.
سلام وقتتون بخیر استاد
من مهدی چمن خواه دانشجوی ارشد ریاضی کاربردی هستم. لیسانسم مهندسی پزشکی بوده. یه سوال داشتم از خدمتتون
اینکه درس سیستمهای دینامیکی چقدر میتونه برای من سخت بشه که فقط ۳ واحد معادل دیفرانسیل پاس کردم ممنون میشم اگر کامنتم رو دیدین راهنماییم کنید.
یه سوال دیگه هم دارم فضای معادلات این درس بیشترش ode خواهد بود؟
مرسی وقتتون رو به من دادین
سلام وقت شما بخیر
آرزوی موفقیت براتون دارم.
به نظرم تغییر رشته در مقطع ارشد سختیش در نخواندن و ندانستن پیش نیازهاست.
که اگر خوانده شوند، قطعا راحت خواهد بود.
همینطور در مورد سوال دوم؛
ode
حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی هست.