مثلثات-و-روابط-بین-نسبت-های-مثلثاتی
مثلثات (Trigonometry) علمی است که روابط بین طول اضلاع و زاویه های یک مثلث را بررسی می کند. در این مقاله ، ابتدا مفاهیم مهم و پایه ای توابع سینوس (sin)، کسینوس (cos) و تانژانت (tan) را تعریف خواهیم نمود.
از آنجایی که مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است پس، در یک مثلث قائم الزاویه اگر یکی از زوایای تند در دسترس باشد زاویه تند دیگر قابل محاسبه است.
اگر زاویه ها را داشته باشیم می توانیم نسبت بین اضلاع را بدست آوریم. با داشتن اندازه یک ضلع اندازه دو ضلع دیگر بدست می آید. نسبت بین اضلاع با استفاده از توابع اصلی مثلثاتی بدست می آید. برای زاویه تند \(\theta \) داریم:
1- تابع سینوس را به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر تعریف می کنیم:
2- تابع کسینوس را به صورت نسبت ضلع مجاور به وتر تعریف می کنیم:
3 تابع تانژانت را به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تعریف می کنیم:
روابط مثلثاتی که برای تمام زاویه ها برقرار هستند اتحاد مثلثاتی نامیده می شوند. کاربرد اتحادهای مثلثاتی در محاسبه مجموع و تفاضل دو زاویه، تعیین مشخصات مثلث، محاسبه تابع های مثلثاتی و… است.
رابطه بین نسبت های مثلثاتی به این صورت است که ما با داشتن هر یک از نسبت های مثلثاتی می توانیم سایر آن ها را بدست آوریم و یا در اثبات اتحادها از آن ها استفاده کرد. همه رابطه هایی که در حد کتاب ریاضی دهم مربوط به مثلثات می شود در زیر آمده است.
به کمک این روابط می توان هر نسبت مثلثاتی را به دیگری تبدیل کرد. درمبحث نسبت های مثلثاتی باید به اینکه انتهای کمان در کام ربع ثلثاتی قراردارد بسیار دقت نمود چرا که علامت نسبت مثلثاتی بر این اساس مشخص می گردد.
به عنوان مثال: اگر انتهای کمان زاویه در ربع چهارم قرار داشته باشد علامت سینوس مثبت و علامت کسینوس و تانژانت و کتانژانت منفی می باشد.
\(\begin{array}{*{20}{l}}مثال: اگر سینوس زاویه ای 0.8 باشد و انتهای کمان زاویه در ربع سوم قرار داشته باشد سایر نسبت های مثلثاتی برای این زاویه را بدست آورید.
اتحادهای فیثاغورثی به صورت زیر می باشند:
دایره مثلثاتی دایره ای است به شعاع یک که جهت چرخش آن پاد ساعت گرد است و می توان با استفاده از آن نسبت های مثلثاتی و نیز طول ها و زوایا در اشکال هندسی مختلف را بدست آورد.
هر نقطه مثل \(p \) زویاین دایره دارای طول و عرض \(x\) و \(y \) است. اندازه \(y\) مقدار سینوس و اندازه \(x \) مقدار کسینوس را مشخص می کند.
به مثلث OPR در دایره مثلثاتی بالا دقت کنید :
با استفاده از تعریف سینوس و کسینوس به رابطه های y=sin و x=cos می رسیم. از طرفی مقدارx و y نقطه هایی که روی دایره مثلثاتی قرار می گیرند نمی توانند از 1+ و 1- فراتر روند بنابراین داریم:
از آنجاییکه رابطه فیثاغورث برای هر مثلث قائم الزاویه ای برقرار است بنابراین در مثلث OPR نیز این رابطه برقرار است و رابطه اصلی مثلثات را خواهیم داشت:
\({\sin ^2}\theta + {\cos ^2}\theta = 1\)در دایره مثلثاتی نقطه p می تواند در هر جایی از محیط دایره قرار گیرد و از آنجاییکه نقطه p نوک کمان حرکت در خلاف عقربه ساعت است و در هر جایی از دایره که قرار گیرد نسبت های مثلثاتی دارای علامت مربوط به آن نقطه خواهد بود لذا، دایره مثلثاتی را به چهار ربع تقسیم کرده اند که در بخش های بعدی به آن پرداخته شده است.
برای اینکه راحت تر روند حرکت روی دایره مثلثاتی را ارزیابی کنیم یک دستگاه مختصات دکارتی که مبدا مختصات مرکز دایره باشد درون دایره رسم می کنیم.
اندازه زاویه در هرناحیه، محدوده خاص خود را دارد که به صورت زیر است:
در دایره مثلثاتی و با آگاهی از علامت جهات مختلف محورهای مختصات دکارتی و نیز مطالب فوق، می توان علامت نسبت های مثلثاتی در هر ربع را به صورت زیر نوشت:
یکاهای اندازه گیری زاویه به 4 دسته زیر تقسیم بندی می شود.
تبدیل واحد(یکا) اندازه گیری به یکدیگربه صورت زیر می باشد:
\(\frac{\pi }{{360}} = \frac{R}{{2\pi }} = \frac{G}{{400}}\)
با رسم یک دستگاه مختصات دکارتی در دایره مثلثاتی و با آگاهی از اینکه محور\(Y\) ها نمایانگر مقادیر سینوس ها و محور\(X\) ها نمایانگر مقادیر کسینوس هاست و نیز با دانشی از ویژگی های مثلث متساوی الساقین، متساوی الاضلاع و رابطه فیثاوغورث در مورد مثلث قائم الزوایه می توانید به سادگی نسبت های مثلثاتی برای برخی زوایای خاص را محاسبه کنید.
\(\begin{array}{*{20}{l}}مثلث قائمالزاویهای که یک زاویه ی °۴۵ داشته باشد، زاویه ی تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائمالزاویه ی متساویالساقین نامیده میشود. در این مثلث، بر پایه قضیه ی فیثاغورس اندازه وتر، ۲√ برابر اندازه ی هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:
\(\begin{array}{*{20}{l}}با استفاده از ویژگی مثلث متساوی الاضلاع و نیز رابطه فیثاغورث می توان به نسبت های زیر رسید:
\(\begin{array}{*{20}{l}}در دایره ی واحد، امکان محاسبه ی توابع مثلثاتی برای زاویههای بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی برای هر زاویهای، مانند شکل زیر تعیین می شود وعلامت یک تابع بر پایه ی مقدار زاویه در دایره ی واحد به صورت آمده در زیر است.
تعیین علامت توابع مثلثاتی
تابع | ربع اول | ربع دوم | ربع سوم | ربع چهارم |
سینوس کسکانت | + | + | – | – |
کسینوس سکانت | + | – | – | – |
تانژانت کتانژانت | + | – | + | + |
توابع مثلثاتی برای زاویههای بزرگتر از °۹۰ را میتوان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. همچنین زاویههای کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشاندهنده این رابطهها است:
در تلفن همراه، جدول را به سمت راست بکشید.
دوران حول محور افق | دوران با زاویه ی \(\frac{\pi }{2}\) | دوران با زاویه ی \(\pi \) | دوران با زاویه ی \(2\pi \) |
---|---|---|---|
\(\sin ( – \theta ) = – \sin \theta \) | \(\sin (\theta + \frac{\pi }{2}) = + \cos \theta \) | \(\sin (\theta + \pi ) = -\sin \theta \) | \(\sin (\theta + 2\pi ) = + \sin \theta \) |
\(\cos ( – \theta ) = + \cos \theta \) | \(\cos (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \sin \theta \) | \(\cos (\theta + \pi ) = – \cos \theta \) | \(\cos (\theta + 2\pi ) = + \cos\theta \) |
\(\tan ( – \theta ) = – \tan \theta \) | \(\tan (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \cot \theta \) | \(\tan (\theta + \pi ) = + \tan \theta \) | \(\tan (\theta + 2\pi ) = + \tan\theta \) |
\(\cot ( – \theta ) = – \tan \theta \) | \(\cot (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \tan \theta \) | \(\cot (\theta + \pi ) = + \cot\theta \) | \(\cot (\theta + 2\pi ) = + \cot \theta \) |
\(\sec ( – \theta ) = + \tan \theta \) | \(\sec (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \csc \theta \) | \(\sec(\theta + \pi ) = -\sec \theta \) | \(\sec(\theta + 2\pi ) = + \sec \theta \) |
\(\csc ( – \theta ) = – \tan \theta \) | \(\csc (\theta + \frac{\pi }{2}) = + \sec \theta \) | \(\csc (\theta + \pi ) = -\csc \theta \) | \(\csc (\theta + 2\pi ) = + \csc\theta \) |
بر اساس تعریف توابع مثلثاتی و نیز دایره ی واحد، میتوان زوج یا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. بهطور خلاصه:
توابع سینوس و کسینوس همواره پیوسته و مشتقپذیر هستنند که به راحتی قابل اثبات است. در مورد دیگر توابع مثلثاتی که در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یا کسینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند. زیرا مقدار توابع سینوس و کسینوس در برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی به صورت زیر هستند (k یک عدد صحیح دلخواه است):
توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار میشوند. این تناوب برای توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است. برای مثال، تناوب توابع سینوس و تانژانت به صورت رابطه ی زیر است:
\(\begin{array}{*{20}{l}}مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست میآید. برای مشتقگیری سایر توابع مثلثاتی میتوان از قاعده ی مشتقگیری تابع کسری استفاده کرد.
در تلفن همراه، جدول را به سمت راست بکشید.
تابع مثلثاتی | مشتق اول | مشتق دوم | انتگرال |
---|---|---|---|
\(\sin \left( x \right)\) | \(\cos \left( x \right)\) | \(-\sin \left( x \right)\) | \(-\cos \left( x \right)\) |
\(\cos \left( x \right)\) | \(-\sin \left( x \right)\) | \(-\cos \left( x \right)\) | \(\sin \left( x \right)\) |
\(\tan \left( x \right)\) | \({\sec ^2}\left( x \right)\) | \(2{\sec ^2}\left( x \right)\tan \left( x \right)\) | \( – \ln \left| {\cos \left( x \right)} \right|\) |
\(\cot \left( x \right)\) | \({-\csc ^2}\left( x \right)\) | \(2{\csc ^2}\left( x \right)\cot \left( x \right)\) | \( \ln \left| {\sin \left( x \right)} \right|\) |
\(\sec \left( x \right)\) | \(\sec \left( x \right)\tan \left( x \right)\) | \(\sec \left( x \right)\left( {{{\sec }^2}\left( x \right) + {{\tan }^2}\left( x \right)} \right)\) | \(\ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right|\) |
\(\csc \left( x \right)\) | \(-\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)\) | \(\csc \left( x \right)\left( {{{\csc }^2}\left( x \right) + {{\cot }^2}\left( x \right)} \right)\) | \(-\ln \left| {\csc \left( x \right) + \cot \left( x \right)} \right|\) |
محاسبه ی مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیدهاست؛ اما امروزه به دلیل در دسترس بودن رایانهها و ماشین حسابهای مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویهای به سادگی به دست میآورند، پیچیدگی آن از بین رفته است.
سه روش متداول برای محاسبه ی مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده است که عبارتند از بهرهگیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدولهای مثلثاتی و روش نوین بهرهگیری از رایانه.
توابع معکوس مثلثاتی به عنوان قرینه ی توابع مثلثاتی نسبت به خط y=x تعریف میشوند. این تابعها را با افزودن ARC به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی میکنند. این تابعها یک عدد حقیقی را میگیرند و یک زاویه را برمیگردانند. توابع مثلثاتی در همه ی دامنه ی خود، یکبهیک و معکوسپذیر نیستند.
برای آن که بتوان تابع معکوس برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنهای که در آن معکوسپذیر است، محدود شود. این دامنه، برای توابع مختلف به صورت جدول زیر است.
علاوه بر این، مشتق توابع معکوس مثلثاتی که با روش مشتقگیری ضمنی به دست میآید، در جدول آورده شدهاست.
در تلفن همراه، جدول را به سمت راست بکشید.
تابع اصلی | دامنه تابع اصلی | تابع معکوس | دامنه تابع معکوس | مشتق تابع معکوس |
---|---|---|---|---|
\(y = \sin x\) | \(– \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\) | \(x = \arcsin y\) | \(– 1 \le y \le 1\) | \(\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\) |
\(y = \cos x\) | \(0 \le x \le \pi \) | \(x = \arccos y\) | \(– 1 \le y \le 1\) | \(-\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\) |
\(y = \tan x\) | \(– \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\) | \(x = \arctan y\) | اعداد حقیقی | \(\frac{1}{{1 + {y^2}}}\) |
\(y = \cot x\) | \(0 \le x \le \pi \) | \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} y\) | \(\begin{array}{l} 1 \le y\ y \le – 1 \end{array}\) | \(-\frac{1}{{{y^2}\sqrt {1 – {y^{ – 2}}} }}\) |
\(y = \sec x\) | \(\begin{array}{l} 0 \le x \le \pi \ x \ne \frac{\pi }{2} \end{array}\) | \(x = {\mathop{\rm arcsec}\nolimits} y\) | \(\begin{array}{l} 1 \le y\ y \le – 1 \end{array}\) | \(\frac{1}{{{y^2}\sqrt {1 – {y^{ – 2}}} }}\) |
\(y = \csc x\) | \(\begin{array}{l} \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\ x \ne 0 \end{array}\) | \(x = {\mathop{\rm arccsc}\nolimits} y\) | اعداد حقیقی | \(-\frac{1}{{1 + {y^2}}}\) |
مثلثات کاربرد های زیادی در علوم مختلف از جمله پایه و مهندسی دارد که در زیر چند مورد را ذکر می کنیم.
1- مختصات قطبی، استوانه ای و کروی
2- اعداد مختلط
3- فضای برداری
4- سری فوریه و تبدیل فوریه
5- نقشه برداری
6- فیزیک (نور و مکانیک)
7- برق و مخابرات
8- حرکت های نوسانی
در ریاضیات و فیزیک، از بردارها برای نشان دادن یک کمیت برداری (که دارای اندازه و جهت است) استفاده میشود. بسیاری از کمیتهای اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و میدان دارای ماهیت برداری هستند.
در برخی محاسبات فضای برداری از توابع مثلثاتی استفاده میشود. برای نمونه، ضرب داخلی دو بردار x و y را میتوان به کمک قانون کسینوسها به صورت زیر محاسبه کرد:
\(\begin{array}{l}\(\theta \)، زاویه بین دو بردار x , y است.
توابع مثلثاتی، پایه ی تعریف دستگاه مختصات قطبی هستند که در ساده سازی بسیاری از مسائل ریاضیات و فیزیک از جمله برخی انتگرالها مؤثر است.
در این دستگاه مختصات، به جای طول و عرض (x,y) یک نقطه (که در دستگاه مختصات دکارتی به کار میرود)، فاصله ی آن با مرکز و زاویه ی بردار گذرنده از مرکز و آن نقطه نسبت به خط افقی (r,θ) به عنوان مختصات یک نقطه در نظر گرفته میشوند.
تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی و برعکس با استفاده از توابع مثلثاتی انجام میشود.
\(\begin{array}{l}دستگاههای مختصات استوانهای و کروی که تعمیمیافته ی مختصات قطبی در سه بعد هستند نیز بر مبنای توابع مثلثاتی شکل گرفتهاند. از این دستگاهها در مسائلی مانند انتگرالهای سهبعدی که دارای تقارن استوانهای یا کروی هستند استفاده میشود.
با استفاده از تعریف مختصات قطبی میتوان اعداد مختلط را به صورت توابع مثلثاتی بیان کرد:
\(z = \left| z \right|\left( {os\theta + i\sin \theta } \right)\)که در آن، \(\left| z \right|\) و \(\theta \) زاویه ان با محور افقی و i بردار یکه موهومی است. علاوه برا این، فرومول اویلر که رابطه میان تابع نمایی و تابع مثلثاتی را نشان می دهد به صورت زیر است:
\({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)در اینصورت داریم:
\(\begin{array}{*{20}{l}}می توان سینوس و کسینوس را به ترتیب، جزء مجازی و حقیقی تابع نمایی مختلط در نظر گرفت:
\(\begin{array}{*{20}{l}}فرمول اویلر در شکل توسعه یافته همان فرمول دموآر است که به صورت زیر بیان می شود.
\({e^{in\theta }} = {\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \)مثلثات، پایه ی بیشتر روش های نقشه برداری است. زاویه یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتداد یابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوسها در راهسازی و تبدیلهای دوبعدی در نقشه برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشهبرداری هستند.
برای نمونه، در مثلث سازی که یکی از روشهای قدیمی نقشه برداری است، با استفاده از اندازهگیری زاویه ی یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه میکنند که امروزه از این روش برای اندازهگیری سه بعدی نوری استفاده میشود.
در مثلثسازی از قانون کسینوسها و قانون سینوسها برای محاسبه ی زاویه ی مثلثها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده میشود.
پیمایش روشی برای نقشه برداری یک محدوده ی باز یا بسته با استفاده از اندازهگیری زاویهها و فاصلهها است. از توابع مثلثاتی برای محاسبه ی موقعیت ایستگاهها استفاده میشود.
15 Comments
سلام نمودار سینوس به توان دو را رسم میکنید
سلام بر شما کاربر محترم
در واتساپ سوالتون رو مطرح کنید یا ایمیلی ارسال نمائید تا براتون رسم کرده و ارسال کنم.
شماره تماسم در سایت هست.
سلام
فرق سینوس به توان ۲ سی درجه با سینوس سی درجه به توان ۲ چیه؟
سلام بر شما کاربر محترم
جواب سوال شما اینست که معادلند و این ویژگی در مورد تمام نسبت های مثلثاتی با هر توانی صادق است.
موفق باشید
سلام خسته نباشید
در مورد مقایسه نسبت های مثلثاتی مثلا cos30بزرگتر است یا sin۱۰ چطور باید عمل کرد
سلام بر شما کاربر محترم
ممنونم
شما دایره مثلثاتی رو برای خودتون رو کاغذ ترسیم کنید و مرکز دایره را مبدا دستگاه دکارتی در نظر بگیرید. محور y ها معرف مقادیر sin و محور x ها معرف مقادیر کسینوس می باشد.
از آنجایی که مقادیر sin و cos هر زاویه ای بین حداقل ۱- و حداکثر ۱+ است و نیز بوضوح رو دایره مثلثاتی مشهود است بنابراین با آگاهی از اینکه زاویه میزان چرخش یا کمانی از دایره است که دو نیم خط نسبت به یکدیگر حول مبدا دارند و هم چنین با در نظر گرفتن اینکه علامت توابع مثلثاتی در هر ربع از دایره مثلثاتی چگونه است براحتی میتوان به عنوان مثال فهمید که با دور شدن از زاویه صفر تا حداکثر ۹۰ درجه میزان sin افزایش و مقدار کسینوس کاهش پیدا میکند.
در حالتی که آرگومانها متفاوت است بایستی مقدار تابع را محاسبه کنید. با این حال، اگر بخواهیم مقدار دو تابع مثلثاتی متفاوت با آرگومان متفاوت را قیاس کنیم با توضیح مثال خودتون بدین ترتیب عمل میکنیم( یه جورایی استفاده از رابطه تعدی):
مقدار کسینوس ۳۰ درجه و سینوس ۳۰ درجه را مقایسه میکنیم و سپس مقدار سینوس ۳۰ درجه را با سینوس۱۰ درجه.
موفق باشید.
من میخواستم بدونم که معنی رادیکال چی هستش وقتی میگن رادیکال ۲۵ بعدش میشه ۵ یعنی چه .خب چرا اعداد وزیر رادیکال میبرن.خب از همون اول بگن ۵ .
درود بر شما کاربر محترم
رادیکال یک عدد یعنی ریشه n ام عدد. وقتی ریشه n ام یک عدد را به توان برسونیم میرسیم به عدد مورد نظر.(n بزرگتر مساوی۲)[ریشه دوم یک عدد را جذر عدد و عدد زیر رادیکال در ریشه دوم مجذور است].
مثلا؛ اگر ۵ رو به توان ۳ برسونیم میشه ۱۲۵ پس ۵ میشه ریشه سوم عدد۱۲۵ به عبارتی رادیکال ۱۲۵ با فُرجه ۳ میشه ۵.
و اما چرا از یک عدد ریشه گیری میکنیم؟
ریشه گیری، معکوسِ توان است. وقتی شما یک عدد رو به توان میرسونید آن عدد را با ضرب کردن در خودش، به تعداد توان آن عدد، بزرگ میکنید پس؛ با ریشه گیری از یک عدد آن را کوچک میکنید.
موفق باشید.
مختصر و مفید بود
سلام یک سوال داشتم رابطه زیر مربوط به چه فرمول مثلثاتی میشه؟
C=R sina cosb
متشکرم.
سلام بر شما کاربر محترم
در سوالی که مطرح کردین باید مشخص نمائید C چیست؟!!!!
لطفا سوال خودتون رو دقیق مطرح کنید.
اینکه این رابطه مربوط به چه فرمول مثلثاتی است گنگ است که منظورتان چیست!
در مختصات قطبی، x=rsina و y=rsinb را داریم در روابط مثلثاتی 2sinacosa=sin2a رو داریم و…
باید سوالتان دقیق عنوان بشه تا بتوانم کمکتان کنم.
آرزوی موفقیت
سلام استاد
یک سوال داشتم حجم لوزی که ارتفاع در راس ها هر کدام متفاوت و همچنین ارتفاع مرکز لوزی یک عدد دیگر هست را چگونه به دست می آوریم.
باتشکر
سلام بر شما کاربر محترم
اولا می دانید که لوزی یک شکل هندسی دوبعدی است و زمانی یک شکل هندسی دارای حجم میشود که در فضای سه بعدی قرار گیرد.
با توجه به اینکه در راس های لوزی ارتفاع ایجاد کرده اید بنابراین شکل حاصل یک منشور است که حجم آن از حاصلضرب مساحت قاعده (لوزی) در ارتفاع بدست می آید.
اگر از هر کدام از راس ها به یک اندازه ارتفاع ایجاد کنیم شکل حاصل یک مکعب است.
آرزوی موفقیت برای شما
سلام استاد
تست مثلثات توی کنکور چرا انقد سخت؟
راه حلی وجود داره که بشه راحتتر تست زد؟
سلام بر شما
در بحث مثلثات حفظ فرمول کمک چندانی به شما نمیکند بلکه میبایست با تکرار زیاد فهمید که هر فرمول چگونه به دست آمده است. مطمئن باشید حل تمرینات زیاد در جهت تبدیل معادله های مختاف مثلثاتی به یکدیگر و نیز مسائل مختلف دیگر از مثلثات، شما را در چالش حل تست های مثلثات موفق خواهد کرد.