مثلثات و روابط بین نسبت های مثلثاتی

مثلثات (Trigonometry) علمی است که روابط بین طول اضلاع و زاویه های یک مثلث را بررسی می کند. در این مقاله ، ابتدا مفاهیم مهم و پایه ای توابع سینوس (sin)، کسینوس (cos) و تانژانت (tan) را تعریف خواهیم نمود.

توابع اصلی مثلثات

از آنجایی که مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است پس، در یک مثلث قائم الزاویه اگر یکی از زوایای تند در دسترس باشد زاویه تند دیگر قابل محاسبه است.

اگر زاویه ها را داشته باشیم می توانیم نسبت بین اضلاع را بدست آوریم. با داشتن اندازه یک ضلع اندازه دو ضلع دیگر بدست می آید. نسبت بین اضلاع با استفاده از توابع اصلی مثلثاتی بدست می آید. برای زاویه تند \(\theta \) داریم:

1- تابع سینوس را به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر تعریف می کنیم:

2- تابع کسینوس را به صورت نسبت ضلع مجاور به وتر تعریف می کنیم:

3 تابع تانژانت را به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تعریف می کنیم:

اتحادهای مثلثاتی

روابط مثلثاتی که برای تمام زاویه ها برقرار هستند اتحاد مثلثاتی نامیده می شوند. کاربرد اتحادهای مثلثاتی در محاسبه مجموع و تفاضل دو زاویه، تعیین مشخصات مثلث، محاسبه تابع های مثلثاتی و… است.

روابط بین نسبت های مثلثاتی

رابطه بین نسبت های مثلثاتی به این صورت است که ما با داشتن هر یک از نسبت های مثلثاتی می توانیم سایر آن ها را بدست آوریم و یا در اثبات اتحادها از آن ها استفاده کرد. همه رابطه هایی که در حد کتاب ریاضی دهم مربوط به مثلثات می شود در زیر آمده است.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\sin ^2}\theta = 1 – {\cos ^2}\theta \\
{\cos ^2}\theta = 1 – {\sin ^2}\theta \\
{\cos ^2}\theta = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}\\
{\sin ^2}\theta = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\theta }}\\
\cot \theta = \frac{1}{{\tan \theta }}
\end{array}
\end{array}\)

به کمک این روابط می توان هر نسبت مثلثاتی را به دیگری تبدیل کرد. درمبحث نسبت های مثلثاتی باید به اینکه انتهای کمان در کام ربع ثلثاتی قراردارد بسیار دقت نمود چرا که علامت نسبت مثلثاتی بر این اساس مشخص می گردد.

به عنوان مثال: اگر انتهای کمان زاویه در ربع چهارم قرار داشته باشد علامت سینوس مثبت و علامت کسینوس و تانژانت و کتانژانت منفی می باشد.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\cos ^2}\theta = 1 – {\sin ^2}\theta = 1 – {(0.8)^2} = 1 – 0.64 = 0.36\\
{\sin ^2}\theta = 1 – {\cos ^2}\theta = 1 – 0.36 = 0.64\\
\to \cos \theta = 0.6,\sin \theta = – 0.8\\
\tan \theta = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }} = \frac{{ – 0.8}}{{0.6}} = \frac{{ – 4}}{3}\\
\cot \theta = \frac{1}{{\tan \theta }} = \frac{{ – 3}}{4}
\end{array}
\end{array}\)

مثال: اگر سینوس زاویه ای 0.8 باشد و انتهای کمان زاویه در ربع سوم قرار داشته باشد سایر نسبت های مثلثاتی برای این زاویه را بدست آورید.

اتحاد اصلی(اتحاد فیثاغورث)

اتحادهای فیثاغورثی به صورت زیر می باشند:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\sin ^2}A + {\cos ^2}B = 1\\
\sin A = \cos B = \cos (\frac{\pi }{2} – A)\\
\cos A = \sin B = \sin (\frac{\pi }{2} – A)\\
\tan A = \cot B = \cot (\frac{\pi }{2} – A)\\
\cot A = \tan B = \tan (\frac{\pi }{2} – A)
\end{array}
\end{array}\)

دایره مثلثاتی(Trigonometric circle)

دایره مثلثاتی دایره ای است به شعاع یک که جهت چرخش آن پاد ساعت گرد است و می توان با استفاده از آن نسبت های مثلثاتی و نیز طول ها و زوایا در اشکال هندسی مختلف را بدست آورد.

هر نقطه مثل \(p \) زویاین دایره دارای طول و عرض \(x\) و \(y \) است. اندازه \(y\) مقدار سینوس و اندازه \(x \) مقدار کسینوس را مشخص می کند.

به مثلث OPR در دایره مثلثاتی بالا دقت کنید :

• زاویه O، که در پایین مثلث ایجاد شده است زاویه بین OP و جهت مثبت محور x هاست.
• اندازه PR (ضلع مقابل) برابر است با عرض y نقطه p
• اندازه OR (ضلع مجاور) برابر است با طول x نقطه p
• اندازه وتر مثلث هم یک واحد است.

با استفاده از تعریف سینوس و کسینوس به رابطه های y=sin و x=cos می رسیم. از طرفی مقدارx و y نقطه هایی که روی دایره مثلثاتی قرار می گیرند نمی توانند از 1+ و 1- فراتر روند بنابراین داریم:

از آنجاییکه رابطه فیثاغورث برای هر مثلث قائم الزاویه ای برقرار است بنابراین در مثلث OPR نیز این رابطه برقرار است و رابطه اصلی مثلثات را خواهیم داشت:

\({\sin ^2}\theta + {\cos ^2}\theta = 1\)

در دایره مثلثاتی نقطه p می تواند در هر جایی از محیط دایره قرار گیرد و از آنجاییکه نقطه p نوک کمان حرکت در خلاف عقربه ساعت است و در هر جایی از دایره که قرار گیرد نسبت های مثلثاتی دارای علامت مربوط به آن نقطه خواهد بود لذا، دایره مثلثاتی را به چهار ربع تقسیم کرده اند که در بخش های بعدی به آن پرداخته شده است.

برای اینکه راحت تر روند حرکت روی دایره مثلثاتی را ارزیابی کنیم یک دستگاه مختصات دکارتی که مبدا مختصات مرکز دایره باشد درون دایره رسم می کنیم.

اندازه زاویه در هرناحیه، محدوده خاص خود را دارد که به صورت زیر است:

• زاویه ای که در ناحیه اول قرار می گیرد: بین 0 تا 90 درجه
• زاویه ای که در ناحیه دوم قرار می گیرد: بین 90 تا 180 درجه
• زوایه که در ربع سوم قرار می گیرد: بین 180 تا 270 درجه
• زاویه ای که در ربع چهارم قرار می گیرد: بین 270 تا 360 درجه

در دایره مثلثاتی و با آگاهی از علامت جهات مختلف محورهای مختصات دکارتی و نیز مطالب فوق، می توان علامت نسبت های مثلثاتی در هر ربع را به صورت زیر نوشت:

• در ناحیه اول: تمام نسبت های مثلثاتی مثبت
• در ناحیه دوم: سینوس مثبت، کسینوس منفی، تانژانت و کتنانژانت منفی
• در ناحیه سوم: سینوس و کسینوس منفی، تانژانت و کتانژانت مثبت
• در ناحیه چهارم: سینوس منفی، کسینوس مثبت، تانژانت و کتانژانت منفی

یکای اندازه گیری

یکاهای اندازه گیری زاویه به 4 دسته زیر تقسیم بندی می شود.

1. درجه: یکایی است که از زمانهای گذشته مورد استفاده بوده ‌است. مقدار این یکا با تقسیم ‌بندی دایره به ۳۶۰ قسمت مساوی به دست می‌آید. به بیان دیگر، یک درجه برابر با زاویه ی روبرو به کمانی است که اندازه ی آن، ۱/۳۶۰ محیط دایره باشد.
2. رادیان: یکایی که در محاسبات مربوط به بحث مثلثات مورد استفاده قرار می گیرد. یک رادیان برابر با زاویه ی روبرو به کمانی است که طول آن برابر با طول شعاع دایره متناظر باشد. طبق این تعریف، یک دایره ی کامل برابر ۲π رادیان است. در محاسبات ریاضی که شامل توابع مثلثاتی هستند (مانند معادلات دیفرانسیل و انتگرال)، از یکای رادیان استفاده می‌شود.
3. گرادیان: یک دایره ی کامل ۴۰۰ گراد می باشد. به بیان دیگر، گراد یک ‌صدم ربع دایره است. کاربرد اصلی گراد در محاسبات مربوط به نقشه ‌برداری است.
4. دور: یک دور معادل یک دایره ی کامل و برابر با ۳۶۰ درجه یا ۲π رادیان است.

تبدیل واحد(یکا) اندازه گیری به یکدیگربه صورت زیر می باشد:

\(\frac{\pi }{{360}} = \frac{R}{{2\pi }} = \frac{G}{{400}}\)

مقادیر نسبت های مثلثاتی برخی زوایای تند

با رسم یک دستگاه مختصات دکارتی در دایره مثلثاتی و با آگاهی از اینکه محور\(Y\) ها نمایانگر مقادیر سینوس ها و محور\(X\) ها نمایانگر مقادیر کسینوس هاست و نیز با دانشی از ویژگی های مثلث متساوی الساقین، متساوی الاضلاع و رابطه فیثاوغورث در مورد مثلث قائم الزوایه می توانید به سادگی نسبت های مثلثاتی برای برخی زوایای خاص را محاسبه کنید.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin 0 = \cos 90 = 0\\
\cos 0 = \sin 90 = 1
\end{array}
\end{array}\)

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویه ی °۴۵ داشته باشد، زاویه ی تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائم‌الزاویه ی متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه قضیه ی فیثاغورس اندازه وتر، ۲√ برابر اندازه ی هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin 45 = \cos 45 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\tan 45 = \cot 45 = 1
\end{array}
\end{array}\)

با استفاده از ویژگی مثلث متساوی الاضلاع و نیز رابطه فیثاغورث می توان به نسبت های زیر رسید:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin 30 = \cos 60 = \frac{1}{2}\\
\cos 30 = \sin 60 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array}
\end{array}\)

در دایره ی واحد، امکان محاسبه ی توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی برای هر زاویه‌ای، مانند شکل زیر تعیین می شود وعلامت یک تابع بر پایه ی مقدار زاویه در دایره ی واحد به صورت آمده در زیر است.

تعیین علامت توابع مثلثاتی

تابع	ربع اول	ربع دوم	ربع سوم	ربع چهارم
سینوس کسکانت	+	+	–	–
کسینوس سکانت	+	–	–	+
تانژانت کتانژانت	+	–	+	+

دوران

توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از °۹۰ را می‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. هم‌چنین زاویه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان‌دهنده این رابطه‌ها است:

در تلفن همراه، جدول را به سمت راست بکشید.

دوران حول محور افق	دوران با زاویه ی \(\frac{\pi }{2}\)	دوران با زاویه ی \(\pi \)	دوران با زاویه ی \(2\pi \)
\(\sin ( – \theta ) = – \sin \theta \)	\(\sin (\theta + \frac{\pi }{2}) = + \cos \theta \)	\(\sin (\theta + \pi ) = -\sin \theta \)	\(\sin (\theta + 2\pi ) = + \sin \theta \)
\(\cos ( – \theta ) = + \cos \theta \)	\(\cos (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \sin \theta \)	\(\cos (\theta + \pi ) = – \cos \theta \)	\(\cos (\theta + 2\pi ) = + \cos\theta \)
\(\tan ( – \theta ) = – \tan \theta \)	\(\tan (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \cot \theta \)	\(\tan (\theta + \pi ) = + \tan \theta \)	\(\tan (\theta + 2\pi ) = + \tan\theta \)
\(\cot ( – \theta ) = – \tan \theta \)	\(\cot (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \tan \theta \)	\(\cot (\theta + \pi ) = + \cot\theta \)	\(\cot (\theta + 2\pi ) = + \cot \theta \)
\(\sec ( – \theta ) = + \tan \theta \)	\(\sec (\theta + \frac{\pi }{2}) = – \csc \theta \)	\(\sec(\theta + \pi ) = -\sec \theta \)	\(\sec(\theta + 2\pi ) = + \sec \theta \)
\(\csc ( – \theta ) = – \tan \theta \)	\(\csc (\theta + \frac{\pi }{2}) = + \sec \theta \)	\(\csc (\theta + \pi ) = -\csc \theta \)	\(\csc (\theta + 2\pi ) = + \csc\theta \)

ویژگی های توابع مثلثاتی

زوج و فرد بودن

بر اساس تعریف توابع مثلثاتی و نیز دایره ی واحد، می‌توان زوج یا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. به‌طور خلاصه:

• کسینوس و سکانت، تابع زوج هستند.( برای مثال: \(\cos ( – \theta ) = \cos \theta \))
• سینوس، تانژانت، کتانژانت و کسکانت، تابع فرد هستند. ( برای مثال: \(\sin ( – \theta ) = -\sin \theta \) )

پیوستگی

توابع سینوس و کسینوس همواره پیوسته و مشتق‌پذیر هستنند که به راحتی قابل اثبات است. در مورد دیگر توابع مثلثاتی که در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یا کسینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند. زیرا مقدار توابع سینوس و کسینوس در برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی به صورت زیر هستند (k یک عدد صحیح دلخواه است):

• تانژانت و کسکانت: \(k\pi \)
• کتانژانت و کسکانت: \(k\pi + \frac{\pi }{2}\)

تناوب

توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار می‌شوند. این تناوب برای توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است. برای مثال، تناوب توابع سینوس و تانژانت به صورت رابطه ی زیر است:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin \left( {2\pi + \theta } \right) = \sin \theta \\
\tan \left( {\pi + \theta } \right) = \tan \theta
\end{array}
\end{array}\)

مشتق و انتگرال توابع مثلثاتی

مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست می‌آید. برای مشتق‌گیری سایر توابع مثلثاتی می‌توان از قاعده ی مشتق‌گیری تابع کسری استفاده کرد.

در تلفن همراه، جدول را به سمت راست بکشید.

تابع مثلثاتی	مشتق اول	مشتق دوم	انتگرال
\(\sin \left( x \right)\)	\(\cos \left( x \right)\)	\(-\sin \left( x \right)\)	\(-\cos \left( x \right)\)
\(\cos \left( x \right)\)	\(-\sin \left( x \right)\)	\(-\cos \left( x \right)\)	\(\sin \left( x \right)\)
\(\tan \left( x \right)\)	\({\sec ^2}\left( x \right)\)	\(2{\sec ^2}\left( x \right)\tan \left( x \right)\)	\( – \ln \left| {\cos \left( x \right)} \right|\)
\(\cot \left( x \right)\)	\({-\csc ^2}\left( x \right)\)	\(2{\csc ^2}\left( x \right)\cot \left( x \right)\)	\( \ln \left| {\sin \left( x \right)} \right|\)
\(\sec \left( x \right)\)	\(\sec \left( x \right)\tan \left( x \right)\)	\(\sec \left( x \right)\left( {{{\sec }^2}\left( x \right) + {{\tan }^2}\left( x \right)} \right)\)	\(\ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right|\)
\(\csc \left( x \right)\)	\(-\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)\)	\(\csc \left( x \right)\left( {{{\csc }^2}\left( x \right) + {{\cot }^2}\left( x \right)} \right)\)	\(-\ln \left| {\csc \left( x \right) + \cot \left( x \right)} \right|\)

محاسبه ی مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیده‌است؛ اما امروزه به دلیل در دسترس بودن رایانه‌ها و ماشین حساب‌های مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویه‌ای به سادگی به دست می‌آورند، پیچیدگی آن از بین رفته ‌است.

سه روش متداول برای محاسبه ی مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده است که عبارتند از بهره‌گیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایانه.

تابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی به عنوان قرینه ی توابع مثلثاتی نسبت به خط y=x تعریف می‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن ARC به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی می‌کنند. این تابع‌ها یک عدد حقیقی را می‌گیرند و یک زاویه را برمی‌گردانند. توابع مثلثاتی در همه ی دامنه ی خود، یک‌به‌یک و معکوس‌پذیر نیستند.

برای آن که بتوان تابع معکوس برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنه‌ای که در آن معکوس‌پذیر است، محدود شود. این دامنه، برای توابع مختلف به صورت جدول زیر است.

علاوه بر این، مشتق توابع معکوس مثلثاتی که با روش مشتق‌گیری ضمنی به دست می‌آید، در جدول آورده شده‌است.

در تلفن همراه، جدول را به سمت راست بکشید.

تابع اصلی	دامنه تابع اصلی	تابع معکوس	دامنه تابع معکوس	مشتق تابع معکوس
\(y = \sin x\)	\(– \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\)	\(x = \arcsin y\)	\(– 1 \le y \le 1\)	\(\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\)
\(y = \cos x\)	\(0 \le x \le \pi \)	\(x = \arccos y\)	\(– 1 \le y \le 1\)	\(-\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\)
\(y = \tan x\)	\(– \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\)	\(x = \arctan y\)	اعداد حقیقی	\(\frac{1}{{1 + {y^2}}}\)
\(y = \cot x\)	\(0 \le x \le \pi \)	\(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} y\)	\(\begin{array}{l} 1 \le y\ y \le – 1 \end{array}\)	\(-\frac{1}{{{y^2}\sqrt {1 – {y^{ – 2}}} }}\)
\(y = \sec x\)	\(\begin{array}{l} 0 \le x \le \pi \ x \ne \frac{\pi }{2} \end{array}\)	\(x = {\mathop{\rm arcsec}\nolimits} y\)	\(\begin{array}{l} 1 \le y\ y \le – 1 \end{array}\)	\(\frac{1}{{{y^2}\sqrt {1 – {y^{ – 2}}} }}\)
\(y = \csc x\)	\(\begin{array}{l} \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\ x \ne 0 \end{array}\)	\(x = {\mathop{\rm arccsc}\nolimits} y\)	اعداد حقیقی	\(-\frac{1}{{1 + {y^2}}}\)

کاربرد توابع مثلثاتی

مثلثات کاربرد های زیادی در علوم مختلف از جمله پایه و مهندسی دارد که در زیر چند مورد را ذکر می کنیم.

1- مختصات قطبی، استوانه ای و کروی

2- اعداد مختلط

3- فضای برداری

4- سری فوریه و تبدیل فوریه

5- نقشه برداری

6- فیزیک (نور و مکانیک)

7- برق و مخابرات

8- حرکت های نوسانی

فضای برداری

در ریاضیات و فیزیک، از بردارها برای نشان دادن یک کمیت برداری (که دارای اندازه و جهت است) استفاده می‌شود. بسیاری از کمیت‌های اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و میدان دارای ماهیت برداری هستند.

در برخی محاسبات فضای برداری از توابع مثلثاتی استفاده می‌شود. برای نمونه، ضرب داخلی دو بردار x و y را می‌توان به کمک قانون کسینوس‌ها به صورت زیر محاسبه کرد:

\(\begin{array}{l}
x.y = \cos \theta .\left| x \right|.\left| y \right|\
x \times y = \sin \theta .\left| x \right|.\left| y \right|
\end{array}\)

\(\theta \)، زاویه بین دو بردار x , y است.

مختصات قطبی، کروی و استوانه ای

توابع مثلثاتی، پایه ی تعریف دستگاه مختصات قطبی هستند که در ساده‌ سازی بسیاری از مسائل ریاضیات و فیزیک از جمله برخی انتگرال‌ها مؤثر است.

در این دستگاه مختصات، به جای طول و عرض (x,y) یک نقطه (که در دستگاه مختصات دکارتی به کار می‌رود)، فاصله ی آن با مرکز و زاویه ی بردار گذرنده از مرکز و آن نقطه نسبت به خط افقی (r,θ) به عنوان مختصات یک نقطه در نظر گرفته می‌شوند.

تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی و برعکس با استفاده از توابع مثلثاتی انجام می‌شود.

\(\begin{array}{l}
x = r\cos \theta \\
y = r\sin \theta
\end{array}\)

دستگاه‌های مختصات استوانه‌ای و کروی که تعمیم‌یافته ی مختصات قطبی در سه‌ بعد هستند نیز بر مبنای توابع مثلثاتی شکل گرفته‌اند. از این دستگاه‌ها در مسائلی مانند انتگرال‌های سه‌بعدی که دارای تقارن استوانه‌ای یا کروی هستند استفاده می‌شود.

اعداد مختلط

با استفاده از تعریف مختصات قطبی می‌توان اعداد مختلط را به صورت توابع مثلثاتی بیان کرد:

\(z = \left| z \right|\left( {os\theta + i\sin \theta } \right)\)

که در آن، \(\left| z \right|\) و \(\theta \) زاویه ان با محور افقی و i بردار یکه موهومی است. علاوه برا این، فرومول اویلر که رابطه میان تابع نمایی و تابع مثلثاتی را نشان می دهد به صورت زیر است:

\({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

در اینصورت داریم:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin \theta = \frac{{{e^{i\theta }} – {e^{ – i\theta }}}}{{2i}}\\
\cos \theta = \frac{{{e^{i\theta }} + {e^{ – i\theta }}}}{2}
\end{array}
\end{array}\)

می توان سینوس و کسینوس را به ترتیب، جزء مجازی و حقیقی تابع نمایی مختلط در نظر گرفت:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin \theta = {\rm{Im}}\left( {{e^{i\theta }}} \right)\\
\cos \theta = {\rm{Re}}\left( {{e^{i\theta }}} \right)
\end{array}
\end{array}\)

فرمول اویلر در شکل توسعه یافته همان فرمول دموآر است که به صورت زیر بیان می شود.

\({e^{in\theta }} = {\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \)

نقشه برداری

مثلثات، پایه ی بیشتر روش های نقشه ‌برداری است. زاویه ‌یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتداد یابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع ‌یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها در راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی در نقشه ‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشه‌برداری هستند.

برای نمونه، در مثلث‌ سازی که یکی از روش‌های قدیمی نقشه ‌برداری است، با استفاده از اندازه‌گیری زاویه ی یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه ‌بعدی نوری استفاده می‌شود.

در مثلث‌سازی از قانون کسینوس‌ها و قانون سینوس‌ها برای محاسبه ی زاویه ی مثلث‌ها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده می‌شود.

پیمایش روشی برای نقشه‌ برداری یک محدوده ی باز یا بسته با استفاده از اندازه‌گیری زاویه‌ها و فاصله‌ها است. از توابع مثلثاتی برای محاسبه ی موقعیت ایستگاه‌ها استفاده می‌شود.