محیط، مساحت و حجم انواع اشکال هندسی

در این مقاله، مطالب جامعی در مورد محیط اشکال هندسی ( environment of Geometric shapes)، مساحت اشکال هندسی (Area of Geometric shapes) و حجم اشکال هندسی (Volume of geometric shapes) آورده شده است.

در ابتدا، با مقدمه ای در مورد شکل و مفهوم اشکال هندسی در هنرهای تجسمی، بحث را آغاز می کنیم و سپس انواع شکل های هندسی را به طور کامل معرفی می کنیم. در انتها، فرمول های مربوط به محیط، مساحت و حجم هر کدام از اشکال هندسی را ذکر خواهیم کرد.

تعریف شکل (shape)

شکل از طریق احاطه شدن یک محیط به وجود می‌آید. شکل می‌تواند به صورت دو بعدی (سطح) یا سه بعدی (حجم) باشد. در هندسه، شکل یا شکل هندسی به انواع موجودات هندسی نظیر نقطه، خط و سطح گفته می‌شود که خاصیت آنها در هندسه مورد بررسی قرار می‌گیرد.

مفهوم اشکال هندسی در هنرهای تجسمی

در علم طراحی و گرافیک هر شکل هندسی، معنای ویژه ای را القا می کند، آشنا بودن به خواص شکل های هندسی، باعث می شود معنا و مفهومی که طراح از طریق زبان تصویر و هنرهای تجسمی قصد بیان آن را داشته، بهتر درک شود.

مربع، شکلی محکم و نماد استواری، مردانگی، سکون، منطق و معرف زمین است. این شکل در معماری اسلامی از اهمیت ویژه ای بر خوردار است و در فرهنگ ایرانی جایگاه مخصوصی دارد. چهار ضلع مساوی آن می تواند نماد چهار عنصر باد، آب، خاک و آتش یا چهار جهت اصلی شمال، جنوب، شرق و غرب یا چهار فصل یا چهار مرحله زندگی از کودکی تا جوانی و میانسالی و پیری و یا چهار طبع سردی، گرمی، خشکی و رطوبت باشد. افلاطون مربع را زیبا به معنی مطلق می داند و ابو یعقوب عدد چهار را کاملترین رقم می شناسد زیرا به تعداد حروف الله است. رنگ آبی را به مربع نسبت می دهند.

مثلث، نمادی از ایستایی و توازن و پایدارترین شکل هندسی است. مثلث، به واسطه زوایای تیزی که دارد سطحی مهاجم و شکلی ستیزنده به خود می گیرد. رأس مثلث، انرژی و نیروی شکل را به بیرون منتقل می کند و به این دلیل خطر و دلهره را سبب می‌شود. شعارهایی نظیر گفتار نیک، پندار نیک، کردار نیک در دین زرتشت و یا پدر، پسر و روح القدس و یا سه رنگ قرمز، آبی و زرد در این رابطه قرار می گیرند. این شکل خصوصیات روانشناسی رنگ زرد را دارد.

اگرمربع را نمادی از مکان در نظر بگیریم، دایره نمادی از حرکت و زمان است. همچنین نمادی از آرامش و تداوم است، زیرا کلیه نقاط پیرامون آن از یک ارزش برخوردارند و این امر تعادلی بین نیروی درونی و فضای بیرونی ایجاد می کند و باعث حرکت چرخشی و دورانی می شود و مفهوم بی پایانی را القا می کند. در عین حال دایره نمادی است از آسمان، عالم ملکوت، حرکت اجسام سماوی در حول محوری دوار و سیار و نیز نمادی از جهان معنوی و متعال است. مربع نمادی از سکون و دایره بیانگر حرکت است. مربع نمادی از مردانگی و دایره مبیین زنانگی و عنصر مونث است. مربع نمادی از عقل و دایره نشانی از احساس است.
دایره خصوصیات رنگ قرمز را دارد.

اشکال هندسی دیگر ا ز ترکیب سطح های اصلی به وجود می آیند.

به عنوان مثال بیضی، خصوصیات مربع و دایره را دارد و به رنگ بنفش نسبت داده می شود و ذوزنقه، از مثلث و مربع ایجاد شده و به رنگ نارنجی نسبت می دهند. در مورد اشکال مستطیل شکل، اشکال سه گوش، اشکال کروی، چهارگوش و مکعب، و نیز خطوط خصوصیاتی نقل شده است.

تعریف اشکال هندسی

۱- مربع (Square)

در هندسه، مربع (چهارگوش) یک چهار ضلعی منتظم است. در واقع، مربع خمی بسته‌ است که چهار ضلع دارد و همه این ضلع‌ها با هم برابرند و با یکدیگر دو به دو زاویه ۹۰ درجه(راست) می‌سازند. یک چهارضلعی محدب یک مربع است اگر و تنها اگر:

الف) یک راست‌ گوشه با دو ضلع مجاور برابر باشد. ب) یک لوزی با یک زاویه راست باشد. پ) یک لوزی با چهار زاویه برابر باشد. ت) یک چهارضلعی با چهارضلع برابر و چهار زاویه راست باشد. ث) یک متوازی‌ الاضلاع با یک زاویه راست و دو ضلع مجاور برابر باشد. ج) یک چهارضلعی که قطرهای آن با هم برابر و عمودمنصف اند مانند یک لوزی با قطرهای برابر باشد. چ) یک مستطیل که طول چهار ضلع آن با هم برابر باشد.

مربع در هندسه نا اُقلیدسی: مربع‌ها چهارگوش‌هایی با چهار ضلع و زاویه برابر هستند.

مربع در هندسه هذلولوی: در این هندسه، مربع با زاویه راست وجود ندارد و مربع‌ها زاویه‌هایی کوچکتر از زاویه راست دارند. هرچه مربع هذلولوی گون بزرگتر باشد زاویه‌های آن کوچکتر خواهد بود.

مربع در هندسه کروی: چهارگوشی است که هر ضلع آن کمانی از دایره بزرگ است که فاصله برابر دارند در نتیجه در زاویه‌های برابر با هم برخورد می‌کنند. برعکس مربع در هندسه مسطحه، زاویه‌های مربع بزرگتر از زاویه راست گوشه است. هرچه مربع کروی بزرگتر باشد زاویه‌های بزرگتری هم دارد.

۲- مستطیل (Rectangle)

مستطیل چهارضلعی است که تمام زوایای آن قائمه باشند. مستطیل نوعی متوازی‌ الاضلاع است که هر دو ضلع مجاورآن برهم عمود هستند. یک مستطیل علاوه بر تمام خواص یک متوازی‌ الاضلاع خواص زیر را دارد:

الف) در مستطیل تمامی زوایا برابرند. ب) مجموع زوایای داخلی مستطیل، ۳۶۰ درجه است. پ) در مستطیل قطرها با هم برابرند. ت) همه مستطیل‌ها دایره محیطی دارند. ث) دارای دو محور تقارن است. ج) قطرها محور تقارن نیستند.

۳- مثلث (Triangle)

مثلث (سه گوش یا سه‌ کنجه) یک چندضلعی با سه ضلع است. مثلث شکلی مسطح است که از اتصال سه نقطه غیرهم‌خط در صفحه به وجود می‌آید. مثلث دارای سه ضلع، سه زاویه، و سه رأس است. به عبارت دیگر از برخورد سه خط راست به یکدیگر بطوریکه هر سه خط یکدیگر را قطع کنند مثلث بوجود می آید. مثلث دارای سه زاویه یا سه گوشه است. مجموع زوایای سه گوشه مثلث برابر 180 درجه است.

عمود منصف در مثلث: اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود کنیم به‌ طوری‌که این خطوط اضلاع را نصف نمایند در این صورت عمود منصف اضلاع مثلث را رسم کرده ایم.

دایره محیطی در مثلث: محل برخورد عمود منصف اضلاع مثلث، مرکز دایره‌ای خواهد بود که مثلث را احاطه می‌کند و به آن، دایره محیطی گویند. این دایره طوری رسم می‌شود که از سه راس مثلث عبور کند. طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محیطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود. به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد، مثلث ما یک مثلث حاده خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه خواهد بود.

ارتفاع در مثلث: خط راستی که از یک راس مثلث عبور کرده و بر ضلع مقابل آن راس عمود می‌شود.

قاعده درمثلث: ضلعی که ارتفاع بر آن عمود شود را قاعده مثلث گویند.

نیمساز زاویه در مثلث: نیمساز یک زاویه از مثلث، خط راستی است که از یک راس مثلث گذشته و آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. اگر نیمسازهای سه زاویه مثلث را رسم کنیم این خطوط در نقطه‌ای درون مثلث همدیگر را قطع خواهند کرد و این نقطه مرکز دایره محاطی مثلث خواهد بود. این دایره درون مثلث قرار دارد به‌طوری‌که اضلاع مثلث، مماس بر دایره هستند.

میانه در مثلث: میانه یک مثلث خط راستی است که از راس مثلث گذشته و ضلع مقابل آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

مرکزثقل در مثلث: سه میانه مثلث یکدیگر را در نقطه‌ای به نام مرکز مثلث قطع می‌کنند. این نقطه را مرکز ثقل مثلث گویند. همچنین این نقطه هر میانه مثلث را به نسبت ۱ به ۲ تقسیم می‌کند به‌طوری‌که فاصله میان راس مثلث تا این نقطه دو برابر فاصله این نقطه تا نقطه میانی ضلع مقابل راس است.

روابط (بین ضلع ها، بین زاویه ها، بین ضلع ها و زاویه ها):

1- روابط بین ضلع ها

الف) در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است.
ب) در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است.

2- روابط بین زاویه ها

الف) مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است.
ب) مجموع زاویه‌های خارجی مثلث ۳۶۰ درجه است.
پ) هر زاویه خارجی برابر مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است.
د) مجموعه زوایای خارجی هر مثلث، دو برابر مجموع زوایای داخلی آن است.

3- روابط بین ضلع ها و زاویه ها

الف) زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر بزرگتر است.
ب) ضلع مقابل به زاویه بزرگتر از ضلع مقابل به زاویه کوچکتر بزرگتر است.
پ) زوایای مقابل به اضلاع برابر برابرند و برعکس.
ت) هر مثلث متساوی الساقین متقارن است.
ث) عمود از رأس به قاعده مثلث متساوی الساقین قاعده و زاویه رأس آن را نصف می‌کند.
ج) زوایای قاعده مثلث متساوی الساقین برابرند.
چ) در مثلث قائم الزاویه زوایای حاده متمم‌اند.
ح) در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، زوایای قاعده ۴۵ درجه‌اند.
خ) در مثلث متساوی الاضلاع تمام زوایای داخلی برابرند، هر یک ۶۰ درجه است.
د) مثلثهای متساوی الاضلاع سه محور تقارن دارند.
‌‌ر) اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه‌ای ۳۰ درجه باشد، ضلع مقابل به آن نصف وتر است.

نکته: اگر سه ارتفاع مثلث را رسم کنیم این سه ارتفاع همدیگر را در داخل مثلث قطع می‌کنند مگر در حالتی که مثلث، منفرجه باشد. محل برخورد نیمسازهای مثلث مرکز دایره محاطی است.

۴- ذوزنقه (Trapezius)

ذوزنقه، یک شکل هندسی دوبعدی و یک چهارضلعی است که فقط دو ضلع آن با هم موازی هستند. در این شکل، زاویه‌های مجاور به دو ضلع غیر موازی با هم مکمل هستند.

۵- لوزی (Rhombus)

لوزی یک چهار ضلعی متساوی الاضلاع است. به بیان دیگر یک چند ضلعی با چهار ضلع، که اضلاعش با هم برابر هستند. در لوزی زاویه های روبرو برابر هستند. در لوزی قطرها نیز عمود منصّف یکدیگرند. مجموع دو زاویه مجاور با هم در لوزی برابر ۱۸۰ درجه می‌باشد. متوازی الاضلاعی که قطرهای آن برهم عمود باشند لوزی است. ارتفاع (altitude) لوزی، طول یک خط عمود بر هرکدام از دو ضلع مقابل است.

اولین روش محاسبه مساحت لوزی با استفاده از اندازه ضلع و ارتفاع عمود بر آن ضلع است. این روش، ساده ترین روش برای محاسبه مساحت لوزی است. در تصویر زیر، فرمول محاسبه مساحت با این روش به همراه مثال نشان داده شده است.

دومین روش برای محاسبه مساحت لوزی با استفاده از اندازه یک ضلع و یکی از دو زاویه روبرو به آن ضلع است. در تصویر زیر، فرمول محاسبه مساحت و مثال مربوط به آن را مشاهده می‌کنید.

سومین روش برای محاسبه مساحت یک لوزی استفاده از قطرهاست. قطرها در لوزی، عمود منصف یکدیگرند. همواره می توانیم مساحت یک لوزی را با توجه به قطرهای آن محاسبه نماییم. در شکل زیر به طور کاملاً واضح فرمول و مثال مربوط به آن به تصویر کشیده شده است.

تصویر زیر، خلاصه آنچه را که در بالا آموختیم نشان می‌دهد اینکه لوزی چیست؟ چگونه در گروه چهارضلعی‌ها قرار‌می‌گیرد؟ بخش‌های مختلف آن چیست؟ و مساحت آن را چگونه می‌توان محاسبه نمود؟

۶- متوازی الاضلاع (Parallelogram)

متوازی‌ الاضلاع یک چهارضلعی است که در آن اضلاع روبرو با هم همراستا می باشند. اندازه اضلاع و زوایه‌های روبرو در متوازی‌ الاضلاع با هم برابر است. زاویه های مجاور باهم مکمل هستند. مستطیل و مربع و لوزی یک نوع متوازی‌ الاضلاع هستند. در هر متوازی الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

۷- دایره (Circle)

الف) دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطه ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطه ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازه شعاع دایره نامیده می‌شود. ب) دایره یک بیضی است که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند. پ) دایره یکی از مقاطع مخروطی است. ت) دایره را می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌ الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. ث) دایره مجموعه نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم (اِفراز) می‌کند: داخل دایره ( قرص)، روی دایره ( محیط)، و بیرون دایره. ج) نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصله بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و عددِ پی \(\left( \pi \right)\) نامیده می‌شود.

تعریف اقلیدسی دایره: مکان هندسی همه نقاطی است که از یک نقطه معین (مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت ( شعاع) داشته باشند.

تعریف آپولونیوسی دایره: آپولونیوس نشان داد که دایره را می‌توان به عنوان مکان هندسی همه نقاطی نشان داده که نسبت فواصلشان از دو نقطه ثابت عددی است ثابت و برابر با نسبت فواصل دو نقطه ثابت از دایره.

دایره به عنوان مقطع مخروطی: دایره حالت خاص تبهگون از بیضی‌ است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند. ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعده آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید.

نیم دایره: کمانی که زاویه مرکزی متناظر آن مساوی ۱۸۰ درجه باشد نیم‌ دایره نام دارد. مجموع زوایای متناظر دو کمان حاصل از دو نقطه روی دایره همواره برابر ۳۶۰ درجه  است.

دایره به عنوان چند ضلعی: دایره چند ضلعی منتظمی است با شعاع محاطی و شعاع محیطی که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. در هندسه، از دایره‌ای با این تعریف با عناوین بی‌نهایت‌ ضلعی و تک‌ ضلعی یاد شده‌ است.

شعاع دایره: پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند شعاع نام دارد و می‌توان آن را نیز«بردار شعاع» آن نقطه دانست. شعاع معمولا با حرف لاتین \(r\) نشان داده می‌شود.

قطره دایره: قطر دایره حداکثر فاصله بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازه آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیم‌دایره نامیده می‌شوند. خود قطر هم توسط مرکز دایره به دو پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شود. قطر دایره معمولا با حرف لاتین \(R\) نشان داده می‌شود.

خط مماس: خط‌ها با دایره در دو نقطه، یا در یک نقطه برخورد می کنند و یا اصلا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند به خط مماس بر دایره در آن نقطه موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم خط سکانت نامیده می‌شوند و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند خط پاسان نام دارند.

زاویه مرکزی دایره: زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویه مرکزی نام دارد. رأس زاویه های مرکزی در مرکز دایره قرار دارد.

قطاع: قطاع بخشی از قرص دایره است که با دو شعاع (یک زاویه مرکزی) و یک کمان محدود شده‌ است. در واقع، هر زاویه مرکزی از قرص دایره یک قطاع جدا می‌کند.

قطعه دایره: قطعه دایره نیز بخشی از قطاع است که بین کمان و وتر بین دو سر شعاع‌های زاویه مرکزی قرار دارد.

کمان نظیر زاویه مرکزی: هر زاویه مرکزی از محیط دایره یک کمان جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویه مرکزی گفته می‌شود.

زاویه محاطی دایره: از برخورد دو خط سکانت روی محیط دایره زاویه محاطی پدید می‌آید. رأس زاویه های محاطی روی محیط دایره قرار دارد.

کمان نظیر زاویه محاطی: هر زاویه محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویه محاطی گفته می‌شود. اندازه کمان نظیر هر زاویه محاطی در دایره نصف اندازه زاویه محاطی روبروی آن کمان است.

زاویه مماسی دایره: حالت تبهگون زاویه محاطی زمانی رخ می‌دهد که یکی از اضلاع زاویه بر دایره مماس باشد که به آن زاویه مماسی گویند.

نکته: دایره کامل‌ترین شکل هندسی است و در فناوری، هنر، دین، و فرهنگ اهمیتی عمده داشته‌ است. پرگار (ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف آن با مرکز و شعاع است) و خط‌‌ کش، تنها ابزار مجاز در هندسه اقلیدسی‌اند، تا جایی که هندسه اقلیدسی گاه «هندسه خط‌ کش و پرگار» خوانده شده‌ است. تربیع دایره، تثلیث زاویه و تضعیف مکعب سه مسئله دشوار و مهمی بودند که در طول تاریخ هندسه‌ دانان را درگیر خود کردند. در قرن نوزدهم دانشمندانی ثابت کردند که این مسائل غیرممکن هستند.

۸- چند ضلعی منتظم (Regular polygon)

یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌ هستند. این چند ضلعی‌ها به دو شکل کوژ یا ستاره می‌باشند. هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطه وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

همه رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

نکته: در زیر روش بدست آوردن مساحت چند ضلعی های نا‌منتظم را بیان می کنیم.

با توجه به فرمول هرون (Heron’s formula)، با داشتن طول اضلاع یک مثلث می توان مساحت آن را محاسبه نمود. این فرمول را برای هر نوع مثلثی می توان استفاده نمود. بر طبق این فرمول، مساحت یک مثلث به طول اضلاع \(a\) و \(b\) و \(c\) از رابطه زیر بدست می آید:

\(A = \sqrt {s\left( {s – a} \right)\left( {s – b} \right)\left( {s – c} \right)} ,\)

که در آن \(s\) نصف محیط (مجموع سه ضلع) مثلث است:

\(s = \frac{{a + b + c}}{2}\)

به همین ترتیب در یک چهارضلعی محاطی به اضلاع \(a\) و \(b\) و \(c\) و \(d\) مساحت به صورت زیر محاسبه می شود:

\(A = \sqrt {\left( {s – a} \right)\left( {s – b} \right)\left( {s – c} \right)\left( {s – d} \right)} \)

که در آن \(s\) نصف محیط (مجموع چهار ضلع) چهارضلعی محاطی است:

\(s = \frac{{a + b + c + d}}{2}\)

۹- منشور (Charter)

منشور یک چندوجهی با دو قاعده \(n\)– ضلعی (قاعده ها در دو صفحه موازی قرار دارند و قاعده ها همنهشت هستند). \(n\) وجه دیگر لزوماً همه متوازی‌ الاضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو \(n\)– ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همه سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند. بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعده سه ضلعی، منشور سه پهلو نامیده می‌شود. در منشور راست وجه ها بر پایه ها عمود هستند.

۱۰- مکعب مستطیل (Cube)

مکعب مستطیل یک شکل هندسی سه بعدی است که دارای شش وجه مستطیل شکل است. مکعب مستطیل همچنین دارای ۸ گوشه و ۱۲ لبه است. در مکعب مستطیل همه زوایا قائمه و وجوه روبروی هم با یکدیگر برابرند. مکعب حالت خاصی از مکعب مستطیل است.

۱۱- مکعب (مکعب مربع- Cube)

مکعب به حجم بسته سه بعدی گفته می شود که از ۶ مربع برابر تشکیل شده است. به صورتی که هر ضلع هریک از مربع‌ها با تنها یک مربع دیگر مشترک باشد و در رأس‌ها سه مربع با یکدیگر در ارتباط هستند (در هر رأس آن 3 ضلع تقاطع دارند). مکعب را می‌توان یک شش وجهی منظم نامید و یکی از پنج جسم افلاطونی است. گاه برای تمایز با مکعب مستطیل، مکعب (با وجوه مربع) را مکعب مربع نیزمی نامند.

۱۲- استوانه (Cylindrical)

استوانه یکی از پایه‌ای‌ترین شکل‌های منحنی فضایی در هندسه است که سطح دور آن را مجموعه نقاطی تشکیل می‌دهد که در فاصله یکسان از یک خط راست قرار دارند، این خط راست محور نام دارد. دو سر این شکل فضایی به کمک دو صفحه عمود بر محور استوانه بسته می‌شود.

در هندسه دیفرانسیل یک استوانه را به صورت یک سطح خط‌ کشیده تعریف می‌کنند که مولد آن یک دسته خط موازی می‌باشد. استوانه‌ای که مقطع عرضی آن یک بیضی، سهمی یا هذلولی باشد به ترتیب استوانه بیضی‌گون، استوانه سهمی‌گون و استوانه هذلولی‌گون می‌نامند.

هر استوانه دارای خصوصیات زیر است:

هر دو سر آن صاف هستند.
هر دو سر آن دقیقا یک شکل هستند.
از پایین تا بالا، کاملا دارای یک شکل ثابت است.
یکی از وجه‌های آن منحنی است.
از آنجایی که یک وجه آن منحنی است، شکل چند وجهی به حساب نمی‌آید.

۱۳- هرم (Pyramid)

هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم رأس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود.

هرم یک چند وجهی است. اگر قاعده هرم مثلث یا مربع باشد به ترتیب، هرم مثلث‌القاعده و هرم مربع‌القاعده گفته می شود. اگر قاعده هرم، دایره باشد به آن مخروط گفته می‌شود.

۱۴- مخروط (Cones)

مخروط یک شکل هندسی سه‌ بعدی است که ازسطح مقطع مخروط تا رأس باریک می‌شود. به‌ طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحه پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند.

مخروط یکی از گونه‌های هرم است که قاعده آن دایره است. مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است. یک مخروط از چرخش یک مثلث ساخته می‌شود (مثلث باید یک زاویه قائمه داشته باشد و حول یکی از دو ضلع کوتاهش (ضلع‌های غیر وتری) بچرخد. ). هر جسمی که شبیه یک مخروط باشد، مخروطی گفته می‌شود.

مخروط دارای یک پایه مسطح است.
مخروط دارای یک طرف منحنی شکل است.
از آنجا که مخروط دارای یک سطح منحنی شکل است پس چندوجهی نیست.
نقطه انتهای یک مخروط، رأس مخروط نامیده می‌شود.

مخروط قائم: مخروطی که در آن فاصله همه نقاط دایره قاعده از راس مخروط یکسان باشد، مخروط قائم نامیده می‌شود. در واقع در مخروط قائم، اگر خطی عمود از مرکز قاعده دایره‌ای شکل رسم کنیم، به راس مخروط خواهیم رسید.

نحوه محاسبه محیط اشکال هندسی

محیط (پیرامون) در هندسه، به خط و مسیری گفته می‌شود که یک سطح را در میان خود می‌گیرد.

محیط به معنای فرا گیرنده است و به بخش بیرونی یک شکل گفته می‌شود. یعنی فاصله‌ای که بر لبه بیرونی یک شکل می‌پیماییم تا به نقطه اول خود بازگردیم محیط می‌گوییم. به خود لبه بیرونی نیز اصطلاحاً محیط گفته می‌شود.

محیط هر شکلی را با قرار دادن یک طناب بر روی دور تا دور لبه بیرونی آن می توان اندازه گرفت. اندازه‌گیری یا محاسبه محیط‌ها کاربردهای عملی زیادی دارد. برای نمونه پیش از خرید پرچین برای یک باغچه بهتر است محیط مورد نظر محاسبه شود. هم‌چنین ریسمان مورد نیاز برای پیچاندن به‌ دور یک ماسوره را می‌توان با اندازه‌گیری محیط ماسوره تعیین کرد.

شکل هندسی	فرمول محیط	متغیرها
مربع	4 \(\times \) یک ضلع = \(a \times 4\)	که در آن \(a\) اندازه ضلع مربع است.
مستطیل	2 \(\times \) (عرض + طول) = \(\left( {a + b} \right) \times 2 \)	که در آن \(a\) و \(a\) به ترتیب، طول و عرض مستطیل هستند.
مثلث متساوی الاضلاع	۳ \(\times \) یک ضلع = \(a \times 3\)	که در آن \(a\) اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.
مثلث متساوی الساقین	مجموع سه ضلع = \(a + a + b\)	که در آن \(a\) اندازه دو ساق و \(b\) اندازه ضلع سوم مثلث متساوی الساقین است.
مثلث قائم الزاویه	مجموع سه ضلع = \(a + b+ c\)	که در آن \(a\) و \(b\) و \(c\) اضلاع مثلث قائم الزاویه است.
ذوزنقه	مجموع چهار ضلع = \(a + b+c+d\)	که در آن \(a\) و \(b\) و \(c\) و \(d\) اضلاع ذوزنقه هستند.
لوزی	4 \(\times \) یک ضلع = \(a \times 4\)	که در آن \(a\) اندازه ضلع لوزی است.
متوازی الاضلاع	2 \(\times \) مجموع دو ضلع متوالی = \(\left( {a + b} \right) \times 2\)	که در آن \(a\) و \(b\) دو ضلع متوالی متوازی الاضلاع هستند.
دایره	قطر\(\times \) عدد پی = \(\pi \times R\) شعاع \(\times \) عدد پی \(\times \) 2 = \(2\pi r\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(R\) و \(r\) به ترتیب قطر و شعاع دایره هستند.
چند ضلعی منتظم	تعداد اضلاعش \(\times \) طول یک ضلع = \(a \times n\)	که در آن \(a\) طول ضلع چند ضلعی منتظم و \(n\) تعداد اضلاع آن است.

نحوه محاسبه مساحت اشکال هندسی

مساحت (پهنه)، تعیین‌کننده بزرگی یک سطح دوبعدی است، تمام سطح یا کف هر شکل هندسی را مساحت آن شکل در نظر می‌گیرند. این سطح می‌تواند مربوط به یک شکل دوبعدی یا یک شکل سه‌بعدی باشد.

واحد مساحت بر پایه سیستم \(SI\) متر مربع \({m^2}\) است و آن برابر مساحت مربعی با ضلع یک متر است. درگذشته، در ایران برای اندازه‌گیری مساحت از یکاهای بومی ایرانی مانند گریب (جریب) استفاده می‌کرده اند. از واحدهای بزرگتری مانند هکتار و کیلومترمربع نیز برای اندازه‌گیری مساحت استفاده می‌شود. در انگلیس، از واحد ایکر برای اندازه گیری سطح استفاده می‌شود.

شکل هندسی	فرمول مساحت	متغیرها
مربع	خودش \(\times \) یک ضلع = \(a \times a\)	که درآن \(a\) اندازه ضلع مربع است.
مستطیل	عرض \(\times \) طول = \(a \times b\)	که در آن \(a\) و \(b\) به ترتیب، اندازه طول و عرض مستطیل است.
مثلث (متساوی الاضلاع، متساوی الساقین و قائم الزاویه)	\(\div 2 \)(ارتفاع\(\times \) قاعده) = \(\left( {a \times h} \right) \div 2\)	که در آن \(a\) قاعده مثلث و \(h\) ارتفاع آن است.
ذوزنقه	\(\div2 \)[ارتفاع \(\times \) (مجموع دو قاعده)] = \(\left[ {\left( {a + c} \right) \times h} \right] \div 2\)	که در آن \(a\) و \(c\) دو قاعده ذوزنقه و \(h\) ارتفاع ذوزنقه است.
لوزی	\(\div 2\)(قطر بزرگ \(\times \) قطر کوچک) = \(\left( {a \times b} \right) \div 2\) سینوس یکی از دو زاویه های روبرو\(\times \)طول ضلع = \(side \times \left( {\angle A – \angle B} \right)\) ارتفاع \(\times \) طول ضلع = \(side \times h\)	که در آن \(a\) و \(b\) قطر کوچک و بزرگ لوزی است و \(h\) ارتفاع وارد بر ضلع لوزی است.
دایره	عدد پی \(\times \) شعاع \(\times \) شعاع = \(\pi {r^2}\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) شعاع دایره است.
کره	شعاع به توان دو \(\times \) عدد پی\(\times \) 4 = \(4\pi {r^2}\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) شعاع دایره است.
بیضی	(نصف قطر بزرگ \(\times \) نصف قطر کوچک) \(\times \) عدد پی = \( \pi \times \left( {\frac{a}{2} \times \frac{b}{2}} \right)\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(a\) و \(b\) قطر کوچک و بزرگ بیضی می باشد.
مساحت جانبی استوانه	ارتفاع\(\times \)محیط قاعده = \(2\pi rh\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) و \(h\) به ترتیب شعاع قاعده و ارتفاع استوانه هستند.
مخروط	مساحت جانبی مخروط + مساحت قاعده = \(\left( {\pi {r^2}} \right) + \left( {\pi rs} \right),s = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) و \(h\) به ترتیب شعاع قاعده و ارتفاع مخروط و \(s\) طول ضلع مخروط است.
مکعب مربع	طول ضلع به توان دو \(\times \) شش = \(6{a^2}\)	که در آن \(a\) طول ضلع وجه های مکعب است.
مکعب مستطیل	\(2ab + 2bc + 2ac\)	که در آن \(a\) و \(b\) و \(c\) طول و عرض و ار تفاع مکعب مستطیل هستند.
مساحت کل استوانه	مجموع مساحت دو قاعده + مساحت جانبی
مساحت جانبی منشور	مجموع مساحت سطوح جانبی
مساحت کل منشور	مجموع مساحت دو قاعده + مساحت جانبی

نحوه محاسبه حجم اشکال هندسی

به مقدار فضایی که یک جسم اشغال میکند حجم می‌گویند و یکای آن در سیستم متریک متر مکعب می‌باشد. در واقع، حجم به صورت فضایی در نظر گرفته می‌شود که می‌توان در آن هوا، آب یا جرم خاصی قرار داد.

شکل هندسی	فرمول حجم	متغیرها
کره	شعاع به توان سه \(\times \) عدد پی \(\times \) چهار سوم = \(\frac{4}{3}\pi {r^3}\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) شعاع دایره است.
مکعب مستطیل	ارتفاع \(\times \) عرض \(\times \) طول = \(abc\)	که در آن \(r\) و \(r\) و \(r\) به ترتیب، طول و عرضو ارتفاع مکعب مستطیل هستند.
مکعب مربع	ارتفاع \(\times \) مساحت قاعده = \({a^3}\)	که در آن \(a\) ضلع مربع است.
استوانه	ارتفاع \(\times \) مساحت قاعده = \(\pi {r^2}h\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) و \(h\) به ترتیب شعاع قاعده و ارتفاع استوانه هستند.
هرم	ارتفاع هرم \(\times \) مساحت قاعده هرم \(\times \) یک سوم = \(\frac{1}{3}\pi {r^2}h\)	که در آن \(\pi = 3.14\) و \(r\) و \(h\) به ترتیب شعاع قاعده و ارتفاع هرم هستند.
مخروط	ارتفاع مخروط \(\times \) مساحت قاعده مخروط \(\times \) یک سوم = \(\frac{1}{3}sh\)	که در آن \(s\) و \(h\) به ترتیب مساحت قاعده و ارتفاع مخروط هستند.